[论文解读] Hitchin's Projectively Flat Connection, Toeplitz Operators and the Asymptotic Expansion of TQFT Curve Operators

Jørgen Ellegaard Andersen, Niels Leth Gammelgaard|Mar 24, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 52被引用 16

一句话总结

本论文建立了Hitchin的几何量子化中模空间的射影平坦联络与拓扑量子场论（TQFT）曲线算子渐近展开之间的精确联系。通过使用Toeplitz算子和微分星积构造Hitchin联络的形式平凡化，作者推导出TQFT曲线算子渐近展开的一阶项，表明其与Andersen、Mattes和Reshetikhin在单值函数上定义的星积一致。

ABSTRACT

In this paper, we will provide a review of the geometric construction, proposed by Witten, of the SU(n) quantum representations of the mapping class groups which are part of the Reshetikhin-Turaev TQFT for the quantum group U_q(sl(n, C)). In particular, we recall the differential geometric construction of Hitchin's projectively flat connection in the bundle over Teichmuller space obtained by push-forward of the determinant line bundle over the moduli space of rank n, fixed determinant, semi-stable bundles fibering over Teichmuller space. We recall the relation between the Hitchin connection and Toeplitz operators which was first used by the first named author to prove the asymptotic faithfulness of the SU(n) quantum representations of the mapping class groups. We further review the construction of the formal Hitchin connection, and we discuss its relation to the full asymptotic expansion of the curve operators of Topological Quantum Field Theory. We then go on to identifying the first terms in the formal parallel transport of the Hitchin connection explicitly. This allows us to identify the first terms in the resulting star product on functions on the moduli space. This is seen to agree with the first term in the star product on holonomy functions on these moduli spaces defined by Andersen, Mattes and Reshetikhin.

研究动机与目标

• 建立一个几何与分析框架，将Hitchin的射影平坦联络与TQFT曲线算子渐近展开相联系。
• 阐明Toeplitz算子在SU(n)映射类群量子表示渐近忠实性中的作用。
• 计算Hitchin联络形式平行移动的一阶项，并在模空间上确定相应的星积。
• 证明由形式平凡化导出的星积与Andersen、Mattes和Reshetikhin在单值函数上已知的星积一致。

提出的方法

• 利用在模空间上秩n、固定行列式、半稳定丛的行列式线丛的上推得到的Teichmüller空间上丛的微分几何构造，实现Hitchin的射影平坦联络。
• 应用Toeplitz算子理论，将Hitchin联络与量子表示及曲线算子的渐近展开相联系。
• 将形式Hitchin联络定义为在Planck常数h的形式幂级数空间上的形式联络。
• 在上同调条件（H¹_Γ(T, D(M)) = 0）下，构造形式Hitchin联络的形式平凡化P，确保Γ-等变性。
• 通过平凡化定义新星积 f ⋆_σ g = P⁻¹_σ(P_σ(f) ⋆̃_σ^{BT} P_σ(g))，证明其与σ无关且Γ-不变。
• 计算等变形式平凡化的首阶项为 P = Id − h(¼Δ + i∇_{X''_F}) + O(h²)，从而在O(h²)范围内确定星积。

实验结果

研究问题

• RQ1 形式Hitchin联络如何与TQFT曲线算子完整渐近展开相联系？
• RQ2 Hitchin联络平行移动渐近展开的一阶项的显式形式是什么？
• RQ3 由Hitchin联络的形式平凡化诱导的星积是否与单值函数上已知的星积一致？
• RQ4 在何种上同调条件下，形式Hitchin联络存在Γ-等变形式平凡化？
• RQ5 Toeplitz算子如何在Hitchin联络与SU(n)量子表示渐近忠实性之间建立联系？

主要发现

• Hitchin联络形式平凡化的首阶项被显式计算为 P = Id − h(¼Δ + i∇_{X''_F}) + O(h²)。
• 所得星积 f ⋆ g 被证明与Teichmüller空间中的复结构σ无关，且在映射类群作用下Γ-不变。
• 首阶星积被识别为 f₁ ⋆ f₂ = f₁f₂ − ih/2{f₁, f₂} + O(h²)，与单值函数上的泊松括号一致。
• 由形式平凡化导出的星积在O(h²)范围内与Andersen、Mattes和Reshetikhin在单值函数上定义的星积一致。
• 该构造证实，TQFT曲线算子的渐近展开由具有变量分离的微分星积控制，首阶项由模空间的Kähler几何唯一确定。
• 当 H¹_Γ(T, D(M)) = 0 时，全局Γ-等变形式平凡化存在；若 H¹_Γ(T, C^∞(M)) = 0 且 Γ 在 D(M) 中的中心化子平凡，则Γ-不变星积唯一。