[论文解读] Hochschild (co)homology and Koszul duality

Estanislao Herscovich|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文建立了 Adams 连通的增强 dg 代数及其 Koszul 对偶之间的 Tamarkin-Tsygan 微分计算的对偶性，表明 Koszul 代数的 Hochschild 上同调与同调与其 Koszul 对偶的相应上同调与同调互为对偶。本文提出了一种通用方法，利用 twisting cochains 和 $A_\infty$-余代数计算 Hochschild (上)同调的分次代数结构，并通过 $A_\infty$-代数的拟同构将结果推广至多 Koszul 代数和非 Koszul 代数。

ABSTRACT

In this article we discuss two different but related results on Hochschild (co)homology and the theory of Koszul duality. On the one hand, we prove essentially that the Tamarkin-Tsygan calculus of an Adams connected augmented dg algebra and of its Koszul dual are dual. This uses the fact that Hochschild cohomology and homology may be regarded as a twisted construction of some natural (augmented) dg algebras and dg modules over the former. In particular, from these constructions it follows that the computation of the cup product on Hochschild cohomology and cap product on Hochschild homology of a Koszul algebra is directly computed from the coalgebra structure of the Tor(k,k) group (the first of these results is proved differently by R.-O. Buchweitz, E. Green, N. Snashall and O. Solberg). We even generalize this situation by studying twisting theory of A_infinity-algebras to compute the algebra structure of Hochschild cohomology of more general algebras.

研究动机与目标

• 建立 Adams 连通的增强 dg 代数及其 Koszul 对偶之间的 Tamarkin-Tsygan 微分计算的对偶性。
• 提供一种通用方法，利用 $A_\infty$-余代数和 twisting cochains 计算 Hochschild 上同调的分次代数结构。
• 通过 $A_\infty$-代数的拟同构，将已知的 Koszul 代数结果推广至更一般的代数，包括多 Koszul 代数。
• 证明 Koszul 代数的 Hochschild 上同调与同调作为 Gerstenhaber 代数和模，与它的 Koszul 对偶的相应结构同构。
• 通过 $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ 的余代数结构，推广 Hochschild (上)同调中 cup 与 cap 乘积的计算。

提出的方法

• 使用 twisting cochains $\tau$ 将代数 $A$ 的 Hochschild 上链复形与 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 复形联系起来，其中 $C$ 是与 bar 构造 $B^+(A)$ 拟同构的极小增强 $A_\infty$-余代数。
• 在 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 与 $A$ 的 Hochschild 上链复形之间构造一个 $A_\infty$-代数的拟同构，诱导上同调上的同构。
• 应用 dg 代数的 twist 方法，将 $A$ 作为 $A$-双模的极小投射解析与 $C$ 上的 $A_\infty$-余代数结构联系起来。
• 利用 $C$ 的分次对偶 $C^\#$ 识别其为 Koszul 对偶 $E(A)$，从而在 $HH^\bullet(\cdot)$ 与 $HH_\bullet(\cdot)^\#$ 之间建立对偶陈述。
• 利用 $C = \operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ 是增强 $A_\infty$-余代数，且当 $A$ 为 Koszul 代数时其微分消失的性质，简化计算。
• 通过在 $C$ 上使用 $A_\infty$-结构及其在 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 上诱导的乘法 $m_2$，将 Hochschild 上同调中的 cup 乘积计算推广至非 Koszul 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ 的余代数结构计算 Koszul 代数的 Hochschild 上同调的代数结构？
• RQ2 即使在不假设单连通性的条件下，代数的 Tamarkin-Tsygan 微分计算与其 Koszul 对偶之间是否存在对偶性？
• RQ3 Hochschild (上)同调中的 cup 与 cap 乘积结构能否通过 $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ 上的 $A_\infty$-余代数结构计算？
• RQ4 twisting cochains 在将 Hochschild 上链复形与一般 $A_\infty$-余代数 $C$ 的 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 联系起来时起什么作用？
• RQ5 如何通过 $A_\infty$-结构将 Koszul 代数的结果推广至多 Koszul 或非 Koszul 代数？

主要发现

• Adams 连通的增强 dg 代数 $A$ 及其 Koszul 对偶 $E(A)$ 的 Tamarkin-Tsygan 微分计算互为对偶，其中 $HH^\bullet(\cdot)$ 与 $HH_\bullet(\cdot)^\#$ 构成对偶的 Gerstenhaber 代数与模。
• $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 与 $A$ 的 Hochschild 上链复形之间存在一个 $A_\infty$-代数的拟同构，诱导上同调上的分次代数同构。
• $HH^\bullet(A)$ 上的分次代数结构通过 $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 上的乘法 $m_2$ 显式计算得出，其中 $C$ 是与 $B^+(A)$ 拟同构的极小增强 $A_\infty$-余代数。
• $HH_\bullet(A)$ 作为 $HH^\bullet(A)$-模，通过 $A_\infty$-双模的拟同构，与 $A \otimes^\tau C$ 的同调同构。
• 该方法通过使用 [HeL] 中 $A_\infty$-余代数的对偶并调整符号约定，为 [XX] 的主要结果提供了新证明。
• 该框架适用于多 Koszul 代数和更一般的代数，通过 $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ 上的 $A_\infty$-余代数结构实现，即使微分非零亦成立。