[论文解读] Hochschild-Witt complex

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文引入了 Hochschild-Witt 复形 $WCH_{\bullet}(A)$，作为在特征 $p$ 的完美域上，对结合代数的纯同调构造，该构造推广了 Hesselholt 的 Witt 向量与 de Rham-Witt 复形。它表明，零度同调恢复了 Hesselholt 的 Witt 群，并在 Hochschild-Kostant-Rosenberg 设置下恢复了 de Rham-Witt 复形，使用了迹理论与循环同调形式化。

ABSTRACT

In arxiv:1602.04254, we have defined polynomial Witt vectors functor from vector spaces over a perfect field $k$ of positive characteristic $p$ to abelian groups. In this paper, we use polynomial Witt vectors to construct a functorial Hochschild-Witt complex $WCH_*(A)$ for any associative unital $k$-algebra $A$, with homology groups $WHH_*(A)$. We prove that the group $WHH_0(A)$ coincides with the group of non-commutative Witt vectors defined by Hesselholt, while if $A$ is commutative, finitely generated, and smooth, the groups $WHH_i(A)$ are naturally identified with the terms $WΩ^i_A$ of the de Rham-Witt complex of the spectrum of $A$.

研究动机与目标

• 通过 Hochschild 同调构造结合代数的 $p$-型 Witt 向量与 de Rham-Witt 复形的非交换推广。
• 为特征 $p$ 的完美域上的结合代数定义函子性 Hochschild-Witt 复形 $WCH_{\bullet}(A)$。
• 将 Hesselholt 的 Witt 向量群 $W(A)$ 恢复为 $WCH_{\bullet}(A)$ 的零度同调。
• 在 Hochschild-Kostant-Rosenberg 设置下，通过复形 $WCH_{\bullet}(A)$ 恢复 de Rham-Witt 复形。
• 提供一个独立于拓扑循环同调的自包含同调框架，用于 Hochschild-Witt 复形。

提出的方法

• 使用双变量 Hochschild-Witt 同调 $WHH_{\bullet}(A,M)$，其中 $A$ 为代数，$M$ 为 $A$-双模，基于 [K2] 中的迹理论。
• 在为基域 $k$ 定义后，通过一个通用机器构造 $WHH_{\bullet}(A,M)$，利用循环范畴 $\Lambda$ 上的函子理论。
• 应用 Connes 的循环形式化，为循环同调建立线性代数框架，重点研究 $\Lambda$ 上的复形。
• 利用典范映射 $\nu_{p^n}$ 及其性质，将 $\mathbb{K}^{(n)}(A^\natural)$ 与 $\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural)$ 关联起来，使用映射 $\eta = \nu_{p^n} \oplus (B \circ \nu_{p^n})$。
• 分析由满射映射 $\eta$ 导出的长正合序列，表明连接微分消失，并确定 $\eta$ 的核与余核。
• 利用同构 $\operatorname{Ker} \nu_{p^n} \cong B\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)$ 与 $\operatorname{Coker} \nu_{p^n} \cong Z\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]$，推导出 $HC_\bullet(\operatorname{Ker} \eta)$ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为特征 $p$ 的完美域上的结合代数定义一个纯粹的同调构造的 Hochschild-Witt 复形？
• RQ2 该复形的零度同调是否恢复 Hesselholt 的 Witt 向量群 $W(A)$？
• RQ3 在光滑交换情形下，该复形是否恢复 de Rham-Witt 复形？
• RQ4 该构造能否在不依赖拓扑循环同调或谱论的情况下完成？
• RQ5 Hochschild-Witt 复形在循环同调与迹映射下的结构为何？

主要发现

• Hochschild-Witt 复形 $WCH_{\bullet}(A)$ 的零度同调群 $WHH_0(A)$ 同构于 Hesselholt 的 Witt 向量群 $W(A)$。
• 在 Hochschild-Kostant-Rosenberg 设置下，复形 $WCH_{\bullet}(A)$ 恢复了 Deligne 与 Illusie 的 de Rham-Witt 复形。
• 映射 $\eta = \nu_{p^n} \oplus (B \circ \nu_{p^n})$ 是满射，其核是 $Z\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]$ 对 $B\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)$ 的扩张。
• 由 $\eta$ 导出的长正合序列中的连接微分消失，意味着 $HC_\bullet(\operatorname{Coker} \eta) \to HC_{\bullet-1}(\operatorname{Ker} \eta)$ 为零。
• 诱导映射 $HC_\bullet(\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural) \oplus \mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]) \to HC_\bullet(\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural))$ 是满射，其核为 $HC_\bullet(\operatorname{Ker} \eta)$，该核是 $B_nHH_\bullet(A)$ 对 $Z_nHH_{\bullet-1}(A)$ 的扩张。
• 复形 $\overline{M}_n^{\bullet} \cong HC_\bullet(\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural))$ 同构于 $HH_\bullet(A) \oplus HH_{\bullet-1}(A)$，其中 $\eta$ 的核捕捉了相关的扩张数据。