[论文解读] Hodge cycles on some moduli spaces

Donu Arapura|ArXiv.org|Feb 8, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文通過將問題約化至基底代數簇的冪上，驗證了曲線與曲面上層模空間的霍奇猜想與推廣霍奇猜想。主要結果表明：當雅可比簇的冪上霍奇猜想成立時，其在零典則曲面的點的希爾伯特 scheme 上也成立；當雅可比簇的冪上霍奇猜想成立時，其在曲線上的穩定向量叢模空間上也成立；在算術設定下，類似結果適用於塔特猜想。

ABSTRACT

The goal is to verify the Hodge conjecture (and some related conjectures) for certain moduli spaces. It is shown that the (generalized) Hodge conjecture holds for the projective moduli spaces of vector bundles over an abelian or K3 surface or a curve if it holds for all powers of the surface or curve. In the latter case, the curve can be replaced by its Jacobian. As a consequence the generalized Hodge conjecture holds for these moduli spaces when the curve is very general. A similar result is proved for the Hilbert schemes of points over an arbitrary surface.

研究动机与目标

• 建立光滑射影曲線上穩定向量叢模空間的霍奇猜想與推廣霍奇猜想。
• 將這些結果推廣至曲面（特別是阿貝爾曲面與庫默爾曲面）上半穩定扭結自由層的模空間。
• 證明若曲面的所有冪上霍奇猜想成立，則其點的希爾伯特 scheme 上的霍奇猜想也成立。
• 透過驗證塔特猜想與霍奇循環的絕對性，提供算術類比。

提出的方法

• 將某代數簇上霍奇猜想的成立性約化至其在具有合適纖的支配、分層或纖化代數簇上的成立性。
• 運用詹南森對擬射影代數簇的霍奇猜想形式化來處理分層結構。
• 應用基於代數對應與庫恩斯分解的準則，將代數簇冪的上同調與模空間的上同調關聯起來。
• 利用已知的霍奇結構與凝聚濾過的結果，將代數循環與霍奇循環關聯起來。
• 適應德卡塔洛與米利奧吉尼關於希爾伯特 scheme 的結果，以建立點的希爾伯特 scheme 上的霍奇猜想。
• 運用伽羅瓦表示與平展上同調證明算術類比，包括塔特猜想與霍奇循環的絕對性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，霍奇猜想在光滑射影曲線上穩定向量叢模空間上成立？
• RQ2 當曲線或曲面的冪上霍奇猜想成立時，其如何推出點的希爾伯特 scheme 或層模空間上霍奇猜想的成立？
• RQ3 在何種條件下，推廣霍奇猜想在曲面上半穩定層模空間上成立？
• RQ4 在何種算術設定下，塔特猜想在這些模空間上成立，特別是當基底代數簇的雙曲維數為零時？
• RQ5 霍奇循環的絕對性在代數簇上成立時，其在層的模空間上能推廣到何種程度？

主要发现

• 若雅可比簇 $ J(X)^m $ 的所有冪上霍奇猜想成立，則其在光滑射影曲線 $ X $ 上穩定向量叢模空間 $ U_X(n,d) $ 上的霍奇猜想也成立。
• 當 $ X $ 在模空間中為非常一般時，$ U_X(n,d) $ 上的推廣霍奇猜想成立，其根源在於 $ J(X)^m $ 上的霍奇猜想。
• 若曲面 $ X $ 的所有冪上霍奇猜想成立，則其在點的希爾伯特 scheme 上的霍奇猜想也成立，此結果可由德卡塔洛與米利奧吉尼的工作推導而出。
• 已驗證阿貝爾曲面或庫默爾曲面上半穩定扭結自由層模空間上的霍奇猜想。
• 若塔特猜想在特徵零域上曲線 $ X $ 的所有冪上成立，則其在模空間 $ M = U_X(n,d) $ 上也成立，且在相同條件下，$ M $ 上的絕對性猜想也成立。
• 對於雙曲維數為零的曲面，點的希爾伯特 scheme $ X^{[n]} $ 上的絕對性猜想成立，因其在 $ X $ 的所有冪上成立，且此類曲面可透過已知具有絕對性質的代數簇存在支配有理映射。