[论文解读] Generators of the cohomology ring of moduli spaces of sheaves on symplectic surfaces

Eyal Markman|ArXiv.org|Sep 11, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文证明了在对称空间（特别是K3曲面）上，层的模空间的上同调环由一个普遍层的陈类生成。通过利用普遍扩展层类在积空间中表达对角类，作者推导出一组统一的生成元，这些生成元在n→∞的极限下构成一个稳定的上同调环，其应用涵盖希尔伯特纲和希格斯丛模空间。

ABSTRACT

Let M be a moduli space of stable sheaves on a K3 or Abelian surface S. We express the class of the diagonal in the cartesian square of M in terms of the Chern classes of a universal sheaf. Consequently, we obtain generators of the cohomology ring of M. When S is a K3 and M is the Hilbert scheme of length n subschemes, this set of generators is sufficiently small in the sense that there aren't any relations among them in the stable cohomology ring. When S is the cotangent bundle of a Riemann surface, we recover the result of T. Hausel and M. Thaddeus: The cohomology ring of the moduli spaces of Higgs bundles is generated by the universal classes.

研究动机与目标

• 确定K3曲面与阿贝尔曲面上稳定层模空间有理上同调环的显式生成元。
• 为K3曲面S上n个点的希尔伯特纲S^{[n]}，建立适用于所有n的统一生成元构造。
• 证明从加权多项式环到H^*(S^{[n]}, ℚ)的诱导同态在度数≤n时是单射，从而定义出一个稳定的上同调环。
• 通过将S特化为黎曼曲面的余切丛，恢复已知的希格斯丛模空间结果。
• 通过普遍层类，提供一个关于上同调上单体算子的基础公式，该公式与导出自同构相关。

提出的方法

• 将M×M中的对角类表示为M×S上普遍层的拉回在Ext层上的导出对偶的上顶陈类。
• 在Ext²恒为零的情况下应用Porteous公式，将对角类简化为普遍Ext类的c_m。
• 构造H^*(S^{[n]}, ℚ)的普遍生成元集，作为S^{[n]}×S上普遍层的陈类。
• 从无穷多个变量的加权多项式环R^{[∞]}定义一个分次环同态h: R^{[∞]} → H^*(S^{[n]}, ℚ)。
• 证明h在度数≤n时是单射，从而确立R^{[∞]}在n→∞极限下为稳定上同调环。
• 将该构造应用于恢复希格斯丛模空间的结果，通过将S特化为黎曼曲面的余切丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称曲面上稳定层模空间的上同调环结构是什么？
• RQ2 M×M中的对角类能否用M×S上普遍层的陈类表示？
• RQ3 普遍陈类是否足以生成此类模空间的整个有理上同调环？
• RQ4 希尔伯特纲S^{[n]}在n→∞时的稳定上同调环结构是什么？
• RQ5 K3曲面上Mukai格的等距变换如何提升为模空间上同调环的自同构？

主要发现

• M×M中的对角类由普遍层拉回在Ext层上的导出对偶的c_m给出，从而导出上同调环生成元的公式。
• 对于希尔伯特纲S^{[n]}，上同调环H^*(S^{[n]}, ℚ)由H^2和一个4度中的23维子空间B_4''生成，环结构至多由一个常数决定。
• 同态h: R^{[∞]} → H^*(S^{[n]}, ℚ)在度数≤n时是单射，确认R^{[∞]}在n→∞极限下为稳定上同调环。
• S^{[3]}的上同调环具有贝蒂数b_4=299，b_6=2554，b_8=22450，且H^6可分解为uH^2 ⊕ V(3) ⊕ 1 ⊕ ∧^2 H^2。
• 乘积H^2⊗B_4'' → H^6单射地映射到平凡部分与反对称部分，三重积Sym^3(B_4'') → H^{12}为零，从而将环结构至多由一个常数固定。
• 对固定的偶数k，当n≥k时，b_k(S^{[n]})趋于稳定，且当偶数n≥4时，有b_n(S^{[n]})−b_n(S^{[n−2]})=24，与H^*(S)和B_n的维数一致。