[论文解读] Holonomy groups and special geometric structures of pseudo-Kählerian manifolds of index 2

Anton S. Galaev|ArXiv.org|Dec 14, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用 8

一句话总结

本文通过识别并构造 u(1, n+1) 的所有弱不可约但非不可约的 Berger 子代数的度量，对指标为 2 的伪凯勒流形的全纯子代数进行了分类。证明了每个此类 Berger 代数均可作为指标为 2 的伪凯勒度量的全纯子代数实现，从而提供了完整的分类，并将其应用于对称空间以及洛伦兹型 Sasaki 流形上的类时锥。

ABSTRACT

The problem of classification of connected holonomy groups (equivalently of holonomy algebras) for pseudo-Riemannian manifolds is open. The classification of Riemannian holonomy algebras is a classical result. The classification of Lorentzian holonomy algebras was obtained recently. In the present paper weakly-irreducible not irreducible subalgebras of $\su(1,n+1)$ ($n\geq 0$) are classified. Weakly-irreducible not irreducible holonomy algebras of pseudo-Kählerian and special pseudo-Kählerian manifolds are classified. An example of metric for each possible holonomy algebra is given. This gives the classification of holonomy algebras for pseudo-Kählerian manifolds of index 2. Finally we consider some examples and applications. We describe examples of 4-dimensional Lie groups with left-invariant pseudo-Kählerian metrics and determine their holonomy algebras. We use our classification of holonomy algebras to give a new proof for the classification of simply connected pseudo-Kählerian symmetric spaces of index 2 with weakly-irreducible not irreducible holonomy algebras. We consider time-like cones over Lorentzian Sasaki manifolds. These cones are also pseudo-Kählerian manifolds of index 2. We describe the local DeRham-Wu decomposition of the cone in terms of the initial Lorentzian Sasaki manifold and we describe all possible weakly-irreducible not irreducible holonomy algebras of such cones.

研究动机与目标

• 对指标为 2 的伪凯勒流形的全纯子代数进行分类。
• 识别并表征 su(1,n+1) 的弱不可约但非不可约子代数。
• 确定 u(1,n+1) 的哪些 Berger 子代数可作为全纯子代数实现。
• 为每个此类 Berger 代数显式构造指标为 2 的伪凯勒度量。
• 将分类结果应用于对称空间以及洛伦兹型 Sasaki 流形上的类时锥。

提出的方法

• 通过表示理论和李代数结构对 su(1,n+1) 的弱不可约但非不可约子代数进行分类。
• 将 u(1,n+1) 的 Berger 子代数识别为全纯子代数的候选，要求其由其代数曲率张量生成。
• 为每个此类 Berger 代数显式构造指标为 2 的伪凯勒度量，以证明其可实现性。
• 利用 DeRham-Wu 分解定理分析洛伦兹型 Sasaki 流形上类时锥的局部几何结构。
• 将分类结果应用于重新证明指标为 2 且全纯子代数弱不可约但非不可约的单连通伪凯勒对称空间的分类。
• 分析每个 Berger 代数的曲率张量空间，以验证其与全纯子代数实现的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 su(1,n+1) 的哪些弱不可约但非不可约子代数存在，以及如何对其进行分类？
• RQ2 u(1,n+1) 的哪些 Berger 子代数可作为指标为 2 的伪凯勒度量的全纯子代数实现？
• RQ3 是否可以通过显式构造相容的伪凯勒度量来实现所有此类 Berger 子代数？
• RQ4 洛伦兹型 Sasaki 流形上类时锥的全纯子代数在局部如何分解？
• RQ5 指标为 2 且全纯子代数弱不可约但非不可约的单连通伪凯勒对称空间的全纯子代数结构是什么？

主要发现

• 对所有 n ≥ 0，su(1,n+1) 的所有弱不可约但非不可约子代数均已分类。
• 所有弱不可约但非不可约的 u(1,n+1) 的 Berger 子代数均可作为指标为 2 的伪凯勒度量的全纯子代数实现。
• 对每个此类 Berger 代数，均显式构造了指标为 2 的伪凯勒度量，从而证明了全纯子代数的可实现性。
• 类时锥的局部 DeRham-Wu 分解以底流形的结构为依据进行描述。
• 给出了一个新证明，用于分类指标为 2 且全纯子代数弱不可约但非不可约的单连通伪凯勒对称空间。
• 所有已分类的 Berger 代数的曲率张量空间均被显式描述，确认了其几何一致性。