[论文解读] Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles II: GNS Representations, the WKB Expansion, and Applications

Martin Bordemann, Nikolai Neumaier+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 1997

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文通过使用固定密度的积分进行形式化GNS构造，为余切丛上的齐次Fedosov星积构造了GNS表示，得到了一种类似Schrödinger的表示形式，且采用Weyl有序。该研究建立了此类星积的强闭性（星对易子的辛体积积分消失），通过GNS框架表述了WKB展开，并证明了时间反演映射的不动点集是拉格朗日子流形。

ABSTRACT

This paper is part II of a series of papers on the deformation quantization on the cotangent bundle of an arbitrary manifold $Q$. For certain homogeneous star products of Weyl ordered type (which we have obtained from a Fedosov type procedure in part I, see q-alg/9707030) we construct differential operator representations via the formal GNS construction (see q-alg/9607019). The positive linear functional is integration over $Q$ with respect to some fixed density and is shown to yield a reasonable version of the Schrödinger representation where a Weyl ordering prescription is incorporated. Furthermore we discuss simple examples like free particle Hamiltonians (defined by a Riemannian metric on $Q$) and the implementation of certain diffeomorphisms of $Q$ to unitary transformations in the GNS (pre-)Hilbert space and of time reversal maps (involutive anti-symplectic diffeomorphisms of $T^*Q$) to anti-unitary transformations. We show that the fixed-point set of any involutive time reversal map is either empty or a Lagrangean submanifold. Moreover, we compare our approach to concepts using integral formulas of generalized Moyal-Weyl type. Furthermore we show that the usual WKB expansion with respect to a projectable Lagrangean submanifold can be formulated by a GNS construction. Finally we prove that any homogeneous star product on any cotangent bundle is strongly closed, i. e. the integral over $T^*Q$ w.r.t. the symplectic volume vanishes on star-commutators. An alternative Fedosov type deduction of the star product of standard ordered type using a deformation of the algebra of symmetric contravariant tensor fields is given.

研究动机与目标

• 通过形式化GNS构造，为余切丛上的齐次Fedosov星积构造微分算子表示。
• 通过在基流形上对固定密度进行积分，实现Weyl有序的Schrödinger表示。
• 分析微分同胚和时间反演映射在GNS希尔伯特空间中作为酉算子和反酉算子的实现方式。
• 证明针对可投影拉格朗日子流形的WKB展开可由GNS构造导出。
• 证明所有余切丛上的齐次星积均为强闭的，即任意星对易子的辛体积积分消失。

提出的方法

• 对T*Q上Weyl有序类型的齐次Fedosov星积应用形式化GNS构造，以Q上的积分作为正线性泛函。
• 利用第一部分（q-alg/9707030）中的Fedosov程序定义星积，确保其齐次性与Weyl有序性。
• 通过GNS构造构建一个预希尔伯特空间，其中GNS内积由正泛函定义。
• 在GNS空间中，将Q的微分同胚实现为酉算子，将时间反演映射（对合的反辛微分同胚）实现为反酉算子。
• 通过将拉格朗日子流形与GNS表示中的循环向量关联，利用GNS框架表述WKB展开。
• 通过对对称协变张量场的形变，提供一种替代的Fedosov型标准有序星积构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 形式化GNS构造能否为余切丛上的齐次Fedosov星积提供一致的微分算子表示？
• RQ2 基流形Q的微分同胚在GNS希尔伯特空间中如何作为酉算子作用？
• RQ3 对合时间反演映射在T*Q上的不动点集的几何性质是什么？
• RQ4 针对可投影拉格朗日子流形，WKB展开能否系统地由GNS构造导出？
• RQ5 所有余切丛上的齐次星积是否均为强闭的，即任意星对易子的辛体积积分是否消失？

主要发现

• 以Q上的积分为正线性泛函的形式化GNS构造，产生了一个定义良好的GNS预希尔伯特空间，实现了Weyl有序的Schrödinger表示。
• T*Q上的时间反演映射作为对合的反辛微分同胚，在GNS表示中诱导出反酉算子。
• 任意此类时间反演映射的不动点集要么为空，要么是T*Q的一个拉格朗日子流形。
• 针对可投影拉格朗日子流形的WKB展开，等价于使用与该子流形相关的循环向量所进行的GNS构造。
• 所有余切丛上的齐次星积均为强闭的：任意星对易子的辛体积积分消失。
• 通过形变对称协变张量场代数，实现了标准有序星积的另一种Fedosov型构造。