[论文解读] Homological differential calculus

Nicolas Vichery|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文通过微局部层理论，为闭合光滑流形上的连续函数引入了一种新颖的同调次微分，建立了其次线性性、莱布尼茨法则以及在一致收敛下的逼近性质。主要贡献在于提出了一种基于同调理论的稳健次微分，该次微分推广了经典概念，特别适用于 $C^0$ 对称几何与非凸哈密顿系统中的 Aubry-Mather 理论。

ABSTRACT

This article provides a definition of a subdifferential for continuous functions based on homological considerations. We show that it satisfies all the requirement for a good notion of subdifferential. Moreover, we prove sublinearity, a Leibniz formula and an approximation result. This work fits in the framework of microlocal analysis of sheaves for C^0 symplectic problems and application to Aubry-Mather theory.

研究动机与目标

• 通过同调与微局部层理论方法，为连续函数定义一种新的次微分。
• 确保新次微分满足良好次微分的标准公理，包括次线性性与莱布尼茨法则。
• 提供一种替代性、基于同调的定义，使不熟悉微支撑概念的读者也能理解。
• 建立在 $C^0$ 一致收敛下函数序列的逼近结果。
• 为通过此新次微分将 Aubry-Mather 理论推广至非凸哈密顿系统奠定基础。

提出的方法

• 利用层的微支撑与奇异支撑（基于 Kashiwara-Schapira 框架）定义同调次微分。
• 通过上同调变化的微局部莫尔斯形变概念刻画临界点，并定义次微分。
• 当函数连续时，通过奇异同调定义次微分，避免依赖高级层论工具。
• 利用层态射与微支撑的性质，证明同调次微分的次线性性与莱布尼茨公式。
• 证明在 $C^0$ 序列一致收敛下，次微分行为良好，与辛几何中的泊松括号极限相关联。
• 将扩展的勒让德变换与层的微支撑联系起来，表明同调次微分对应于 $T^*M$ 中微分的旋转图像，从而在辛几何中提供几何解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用同调与微局部层理论工具，为连续函数定义次微分？
• RQ2 该同调次微分是否满足次微分的标准公理，如次线性性与莱布尼茨法则？
• RQ3 该同调次微分与利普希茨情形下经典的 Clarke 次微分及近似次微分有何关系？
• RQ4 该次微分能否用于将 Aubry-Mather 理论推广至非凸哈密顿系统？
• RQ5 在 $C^0$ 序列一致收敛下，次微分的行为如何，尤其与泊松括号有何关联？

主要发现

• 同调次微分满足良好次微分的所有标准要求，包括次线性性与莱布尼茨法则。
• 提供了一种替代性、基于同调的次微分定义，避免使用复杂的微支撑工具，使该定义对连续函数更具可及性。
• 次微分在一致收敛下具有稳定性：若 $f_n \to f$ 在 $C^0$ 中成立，则 $f$ 的次微分属于所有足够大 $n$ 的 $f_n$ 次微分的闭包的交集。
• 同调次微分推广了 $C^1$ 函数的经典导数，并自然延拓至 $C^0$ 函数。
• 利普希茨函数的扩展勒让德变换同构于其共轭凸函数的上图所关联的层，将层论构造与凸分析联系起来。
• 在标准旋转 $J$ 下，次微分对应于 $T^*M$ 中微分的旋转图像，从而在辛几何中提供了几何解释。