[论文解读] Homological index formulas for elliptic operators over C*-algebras

Charlotte Wahl|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文利用K-理论到光滑子代数的de Rham同调的Karoubi上同调类，为闭流形上系数取值于C*-代数的椭圆算子建立了同调指标公式。它证明了一个普遍的指标定理，统一并推广了覆盖、平坦叶状丛和C*-动力系统上的高阶指标定理，并在非交换谱流和C*-代数上伪微分算子的正则性方面具有应用。

ABSTRACT

We prove index formulas for elliptic operators acting between sections of C*-vector bundles on a closed manifold. The formulas involve Karoubi's Chern character from K-theory of a C*-algebra to de Rham homology of smooth subalgebras. We show how they apply to the higher index theorem for coverings and to flat foliated bundles, and prove an index theorem for C*-dynamical systems associated to actions of compact Lie groups. In an Appendix we relate the pairing of odd K-theory and KK-theory to the noncommutative spectral flow and prove the regularity of elliptic pseudodifferential operators over C*-algebras.

研究动机与目标

• 利用C*-代数的K-理论到其光滑子代数的de Rham同调的Karoubi上同调类，为闭流形上系数取值于C*-代数的椭圆算子建立同调指标公式。
• 将该指标公式与覆盖和平坦叶状丛的高阶指标定理联系起来。
• 为与紧李群作用相关的C*-动力系统建立一个指标定理。
• 在指标理论背景下，将K-理论与KK-理论的配对与非交换谱流联系起来。
• 证明C*-代数上椭圆伪微分算子在Sobolev空间上的正则性与伴随性。

提出的方法

• 利用C*-代数的K-理论到其光滑子代数的de Rham同调的Karoubi上同调类。
• 建立Karoubi上同调类在K-理论张量积下的相容性，以与Mishenko–Fomenko的上同调类进行比较。
• 将指标公式应用于推导Connes–Moscovici高阶指标定理的C*-代数版本。
• 引入一种新的光滑子代数用于平坦叶状丛，推广了先前的构造。
• 证明椭圆伪微分算子作为无界算子在固定Sobolev空间上是正则的，并在适当的Sobolev空间之间是伴随可约的。
• 利用经典伪微分算子在C*-代数上的符号序列的正合性，建立关键的结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Karoubi上同调类为C*-代数上的椭圆算子建立同调指标公式？
• RQ2 在C*-代数指标理论背景下，Karoubi上同调类与Mishenko–Fomenko上同调类之间有何关系？
• RQ3 所提出的指标公式如何恢复或推广覆盖和平坦叶状丛的高阶指标定理？
• RQ4 K₁-理论与KK-理论的配对与非交换谱流之间存在何种关系？
• RQ5 C*-代数上椭圆伪微分算子在Sobolev空间上的正则性与伴随性特征为何？

主要发现

• 本文证明了闭流形上系数取值于C*-代数的椭圆算子的普遍指标定理，利用Karoubi上同调类到de Rham同调。
• 该指标公式作为特例恢复了Connes–Moscovici高阶指标定理的C*-代数版本。
• 本文确立了配对 $ K_1(\text{A}) \times KK_1(\text{A}, \text{B}) \to K_1(\text{B}) $ 对应于非交换谱流。
• 证明了C*-代数上椭圆伪微分算子在固定Sobolev空间上作为无界算子是正则的，并在Sobolev空间之间是伴随可约的。
• 恒等映射在算子的Hilbert C*-模与Sobolev空间 $ H^s(M,E) $ 之间诱导出一个伴随可约同构，从而确保指标定义良好。
• 证明了经典伪微分算子在C*-代数上的符号序列是正合的，且满足 $ \Psi_{\mathcal{A}} \cong \Psi_{\mathbb{C}} \otimes \mathcal{A} $，保持了K-理论类的结构。