[论文解读] I-convergence classes of sequences and nets in topological spaces

Amar Kumar Banerjee, Apurba Banerjee|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文引入了拓扑空间中序列与网的 I-收敛类，并证明满足特定公理的此类类可生成唯一拓扑。主要贡献在于建立了 I-收敛类与拓扑之间的双射关系，表明相对于生成拓扑的 I-收敛与原始 I-收敛序列和网类完全一致。

ABSTRACT

In this paper we have used the idea of I-convergence of sequences and nets to study certain conditions of convergence in a topological space. It has been shown separately that a class of sequences and a class of nets in a non-empty set X which are respectively called I-convergence class of sequences and I-convergence class of nets satisfying these conditions generate a topology on X. Further we have correlated the classes of I-convergent sequences and nets with respect to these topologies with the given classes which satisfy these conditions.

研究动机与目标

• 刻画在集合 X 中，一类 I-收敛序列或网在何种条件下可生成拓扑。
• 建立 I-收敛类用于拓扑生成的必要与充分条件。
• 将原始 I-收敛类与相对于生成拓扑的 I-收敛相关联。
• 通过在有向集上使用理想，将 Moore-Smith 收敛理论推广至 I-收敛。
• 证明相对于生成拓扑的 I-收敛与原始 I-收敛类完全一致。

提出的方法

• 使用 N 上的理想 I 和有向集 D，定义拓扑空间中序列与网的 I-收敛。
• 基于网的 I-收敛，在 X 的子集上引入一个算子 'cl'，其作用类似于拓扑中的闭包。
• 验证闭包算子 'cl' 满足 Kuratowski 闭包公理：(1) ∅^{cl} = ∅，(2) A ⊆ A^{cl}，(3) (A ∪ B)^{cl} = A^{cl} ∪ B^{cl}，(4) (A^{cl})^{cl} = A^{cl}。
• 通过定义集合 U 为开集当且仅当 X∖U 关于算子 'cl' 是闭的，从而在 X 上定义一个拓扑 τ。
• 证明一个网在类中 I-收敛于 x₀ 当且仅当它相对于 τ I-收敛于 x₀。
• 使用收敛类的公理 (a)–(d)（类似于 Moore-Smith 收敛）以确保拓扑的定义良好且一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在集合 X 中，一类 I-收敛序列或网在何种条件下可生成唯一拓扑？
• RQ2 I-收敛类与它所生成拓扑的 I-收敛之间有何关系？
• RQ3 收敛类的公理 (a)–(d) 能否被调整以适用于 I-收敛，从而确保拓扑的生成？
• RQ4 相对于生成拓扑的 I-收敛是否等价于原始 I-收敛类？
• RQ5 可接受的理想与滤子在确保 I-收敛与拓扑生成的一致性中起什么作用？

主要发现

• 满足公理 (a)–(d) 的非空集合 X 中 I-收敛序列类可唯一生成 X 上的拓扑 τ。
• 对于 I-收敛网类亦成立，且闭包算子 'cl' 满足 Kuratowski 公理。
• 拓扑 τ 由 I-收敛类唯一确定，且该类中的每个 I-收敛网相对于 τ 也是 I-收敛的。
• 反之，每个相对于 τ I-收敛的网也属于原始类，从而建立了双射关系。
• 通过网的 I-收敛定义的闭包算子 'cl' 满足 (A ∪ B)^{cl} = A^{cl} ∪ B^{cl} 与 (A^{cl})^{cl} = A^{cl}，确认了拓扑的一致性。
• 证明依赖于理想、滤子与 Moore-Smith 收敛公理之间的相互作用，表明相对于 τ 的 I-收敛与原始类完全一致。