[论文解读] Ideal structure of $C^*$-algebras associated with $C^*$-correspondences

Takeshi Katsura|ArXiv.org|Sep 18, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 15

一句话总结

本文通过引入$O$-对——即基$C^*$-代数中的一对理想，其为不变理想与附加数据的推广——对与$C^*$-对应关系相关联的$C^*$-代数中的规范不变理想进行了完整分类。证明了规范不变理想与$O$-对之间存在双射关系，推广了交叉积理论，并通过规范不变唯一性定理，为相对Cuntz-Pimsner代数提供了普遍表征。

ABSTRACT

We study the ideal structure of $C^*$-algebras arising from $C^*$-correspondences. We prove that gauge-invariant ideals of our $C^*$-algebras are parameterized by certain pairs of ideals of original $C^*$-algebras. We show that our $C^*$-algebras have a nice property which should be possessed by generalization of crossed products. Applications to crossed products by Hilbert $C^*$-bimodules and relative Cuntz-Pimsner algebras are also discussed.

研究动机与目标

• 描述与$C^*$-对应关系$X$相关联的$C^*$-代数$\mathcal{O}_X$的理想结构。
• 将由自同构作用产生的交叉积理论推广至$C^*$-对应关系的设定。
• 通过一种称为$O$-对的新一类理想对，对$\mathcal{O}_X$中的规范不变理想实现完全参数化。
• 为相对Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}(J,X)$建立规范不变唯一性定理。

提出的方法

• 引入$O$-对作为基$C^*$-代数$A$中的一对理想$(J_{-\infty}, J)$，其中$J_{-\infty}$在左作用下不变，而$J$为额外的理想。
• 通过$X$的协变表示定义普遍$C^*$-代数$\mathcal{O}_X$，推广了Cuntz-Pimsner代数。
• 从$T$-对$\omega$构造$C^*$-对应关系$X_\omega$，并证明其普遍性质，以表明$\mathcal{O}_X$的两种定义等价。
• 利用$\mathcal{O}_X$上的$\mathbb{T}$的规范作用来定义规范不变理想，并将其与$O$-对关联。
• 将理论应用于希尔伯特$C^*$-双模和相对Cuntz-Pimsner代数，表明模规范不变理想的商仍属于同一类。
• 证明每个规范不变理想均包含一个与另一$C^*$-代数从$C^*$-对应关系中同构的遗传且满的$C^*$-子代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在基$C^*$-代数$A$和$C^*$-对应关系$X$的术语下，完全分类$\mathcal{O}_X$的规范不变理想？
• RQ2 在$C^*$-对应关系的背景下，由自同构作用产生的交叉积理论的正确推广是什么？
• RQ3 相对Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}(J,X)$与普遍$C^*$-代数$\mathcal{O}_X$之间有何关系？
• RQ4 何种条件可确保$X$的一个表示诱导出到$\mathcal{O}(J,X)$的同构？
• RQ5 是否能通过普遍性质完全描述$\mathcal{O}(J,X)$的理想结构？

主要发现

• 在$\mathcal{O}_X$中，规范不变理想与$O$-对$(J_{-\infty}, J)$之间存在双射关系，其中$J_{-\infty}$为不变理想，$J$为$A$的额外理想。
• $C^*$-代数$\mathcal{O}_X$同构于相对Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}(J,X)$当且仅当$J_{-\infty} = 0$且$J \cap \ker \varphi_X = 0$。
• $\mathcal{O}_X$模规范不变理想的商同构于某个$C^*$-对应关系$Y$的$\mathcal{O}_Y$，表明该类在商映射下封闭。
• $\mathcal{O}_X$中的每个规范不变理想均包含一个与某个合适$C^*$-对应关系$Z$的$\mathcal{O}_Z$同构的遗传且满的$C^*$-子代数。
• 相对Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}(J,X)$的规范不变唯一性定理指出：从$\mathcal{O}(J,X)$到$C^*(\pi', t')$的满射是同构当且仅当$\pi'$允许规范作用，$\ker \pi' = J_{-\infty}$，且$\{a \in A \mid \pi'(a) \in \psi_{t'}(\mathcal{K}(X))\} = J$。
• $\pi: A \to \mathcal{O}(J,X)$是单射当且仅当$J \cap \ker \varphi_X = 0$，这等价于$J_{-\infty} = 0$。