[论文解读] Identification of Sparse Continuous-Time Linear Systems with Low Sampling Rate: Exploring Matrix Logarithms.

Zuogong Yue, Johan Thunberg+2 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Control Systems and Identification被引用 7

一句话总结

本文提出一种方法，通过利用矩阵对数从低采样率的采样数据中识别稀疏连续时间线性系统，以重建系统的A-矩阵。该方法解决了矩阵对数分支中由混叠引起的模糊性问题，并提供了在有限等价类内唯一识别的理论条件，同时还提出了用于稀疏系统恢复的混合整数线性规划公式。

ABSTRACT

A continuous time linear dynamic in state space form has an $A$-matrix that reveals the connection between the states. Many dynamical systems allow a a sparse structure for this matrix. This means that the right-hand sides of the dynamical equations depend only on a subset of the states. If the system is unknown, one can try to identify it from data samples. This paper addresses identification of such sparse continuous time dynamical systems. We consider linear noise-driven dynamical systems evolving in continuous time. The assumption is that the sampling period is not small enough to apply methods where the continuous time system is identified directly from data. Instead a discrete time system is inferred in an intermediate step. Due to aliasing, different branches of the matrix logarithm might provide different degree of sparsity. We shed light on this issue, which has largely been overlooked in the community before and provide theoretical results for when a unique solution exists up to a finite equivalence class. We also provide a mixed integer linear programming formulation corresponding to a simplified version of our problem.

研究动机与目标

• 解决在采样率过低而无法直接进行连续时间识别时，识别稀疏连续时间线性系统的挑战。
• 研究混叠如何影响系统识别过程中矩阵对数分支的选择。
• 建立在有限等价类内唯一解存在的理论条件。
• 在简化设置下，开发用于稀疏系统识别的混合整数线性规划公式。

提出的方法

• 将系统建模为具有稀疏A-矩阵的线性零均值连续时间状态空间系统。
• 利用低采样率的采样数据推断一个中间的离散时间系统。
• 应用矩阵对数将离散时间系统映射回连续时间，同时考虑混叠效应。
• 探索矩阵对数的多个分支，以识别能产生最稀疏A-矩阵的分支。
• 将稀疏识别问题公式化为混合整数线性规划（MILP），以实现可计算性。
• 通过理论分析，确定解在有限等价类内唯一存在的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在低采样率下，矩阵对数的哪个分支能产生最稀疏且最精确的连续时间A-矩阵重构？
• RQ2 在何种条件下，系统识别问题在有限等价类内是唯一可解的？
• RQ3 混叠如何扭曲识别过程，以及如何通过矩阵对数选择来缓解这一问题？
• RQ4 采样率对识别出的A-矩阵的稀疏结构有何影响？
• RQ5 混合整数线性规划公式能否有效从低采样率数据中恢复A-矩阵的稀疏结构？

主要发现

• 本文建立了理论条件，即使在低采样率下，也能在有限等价类内唯一识别出真实的A-矩阵。
• 矩阵对数的不同分支可能产生显著不同的稀疏模式，分支的选择对识别质量具有决定性影响。
• 混叠在矩阵对数中引入了模糊性，本文通过理论边界明确分析并解决了该问题。
• 所提出的MILP公式在简化问题设置下成功恢复了A-矩阵的稀疏结构。
• 研究表明，只要选择了正确的矩阵对数分支，低采样率并不会阻碍稀疏系统识别。