[论文解读] Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold

Jeremy Kahn, Vladimir Marković|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过使用富克斯型曲面的拟共形变形和框架流遍历性，在闭双曲3-流形中构造出闭合、浸入的曲面，使其在基本群上诱导出单射映射。关键结果是存在 $(1+\epsilon)$-拟测地线且本质的曲面，证明了每个闭双曲3-流形都包含一个基本群映射为单射的本质浸入曲面。

ABSTRACT

Let M be a closed hyperbolic three manifold. We construct closed surfaces which map by immersions into M so that for each one the corresponding mapping on the universal covering spaces is an embedding, or, in other words, the corresponding induced mapping on fundamental groups is an injection.

研究动机与目标

• 证明每个闭双曲3-流形都包含一个闭合、浸入的曲面，其在基本群上的诱导映射是单射。
• 通过具有受控几何与单值数据的斜裤片拼接构造此类曲面。
• 利用复半长和扭转变换参数，建立基本群映射为单射的条件。
• 利用流形 $ \mathbf{M}^3 $ 的单位切丛上的框架流，构造一个在斜裤片上具有等分布性质的测度。
• 证明单值覆盖的边界映射可延拓为拟共形映射，从而确保曲面为拟测地线。

提出的方法

• 在克莱因群 $ \mathcal{G} $ 内构造一个拟法诺群 $ g \circ F_\epsilon \circ g^{-1} $，其中 $ F_\epsilon $ 是具有大边缘长度和扭转变换 $ +1 $ 的法诺群。
• 利用 $ \mathbf{M}^3 $ 的单位切丛上的框架流，定义框架上的 $ \mathbb{C} $-作用，并构造一个在斜裤片上具有等分布性质的测度。
• 定义基点映射 $ \operatorname{foot}_\gamma(\Pi_\alpha) \in \mathbb{C}/(2\pi i\mathbb{Z} + \mathbf{hl}(\gamma)\mathbb{Z}) $，以追踪围绕测地线的裤片的几何结构。
• 对每条测地线 $ \gamma $，定义裤片的一个置换 $ \sigma_\gamma $，使得 $ |\operatorname{foot}_{\gamma}(\Pi_{\sigma_\gamma(\alpha)}) - \tau(\operatorname{foot}_{\gamma}(\Pi_\alpha))| < \epsilon/R $，其中 $ \tau(n) = n + 1 + i\pi $。
• 定义测度 $ \beta(\delta) $ 相对于环面 $ N^1(\sqrt{\delta}) $ 上的欧氏测度的Radon-Nikodym导数，证明其在 $ r $ 上指数接近1。
• 利用 $ \mathbb{C} $-作用证明该导数在整个环面 $ N^1(\sqrt{\delta}) $ 上为常数，从而推出等分布性，并实现所需曲面的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在闭双曲3-流形中构造一个闭合、浸入的曲面，使其在基本群上的诱导映射为单射？
• RQ2 在裤片分解和拼接数据的何种几何条件下，基本群的诱导映射为单射？
• RQ3 能否利用框架流构造一个在斜裤片上的测度，以确保等分布性并实现此类曲面的构造？
• RQ4 如何利用拟共形边界映射确保曲面为拟测地线且本质？
• RQ5 复半长和扭转变换参数在控制基本群映射的单射性中起什么作用？

主要发现

• 对任意 $ \epsilon > 0 $，存在一个黎曼曲面 $ S_\epsilon = \mathbb{H}^2 / F_\epsilon $ 和一个 $ (1+\epsilon) $-拟共形映射 $ g $，使得 $ g \circ F_\epsilon \circ g^{-1} \subset \mathcal{G} $，从而将该曲面嵌入到 $ \mathbf{M}^3 $ 中。
• 由此得到的曲面 $ f(S_\epsilon) \subset \mathbf{M}^3 $ 是一个浸入的 $ \epsilon $-拟测地线子曲面，且诱导映射 $ f_*: \pi_1(S_\epsilon) \to \pi_1(\mathbf{M}^3) $ 是单射。
• 当复半长满足 $ |\mathbf{hl}(C) - R| < \epsilon $ 且扭转变换满足 $ |s(C) - 1| < \epsilon/R $ 时，构造成功，其中 $ R > R(\epsilon) $ 足够大。
• 通过框架流构造的斜裤片上的测度是等分布的，且关联测度 $ \beta(\delta) $ 的Radon-Nikodym导数在流的长度尺度 $ r $ 上指数接近1。
• 边界映射 $ \partial\widetilde{f} $ 可延拓为 $ \partial\mathbb{H}^3 $ 上的 $ (1 + K_0\epsilon) $-拟共形映射，从而确保曲面在拟共形意义下接近一个法诺曲面。
• 构造中使用了保持框架流结构的 $ \mathbb{C} $-作用，使得在环面 $ N^1(\sqrt{\delta}) $ 上导数为常数，从而实现测度的等分布性。