[论文解读] Improved implementation of reflection operators

Anirban Narayan Chowdhury, Yiğit Subaşı+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文提出了一种量子算法，通过线性组合酉操作（LCU）和无偏振幅放大（OAA）技术，在实现酉算符特征向量上的近似反射算符时，相比相位估计算法，将辅助量子比特的数量从 O(log(1/ε)log(1/Δ)) 减少到 O(log log(1/ε) + log(1/Δ))，实现指数级降低，同时保持相近的门操作和查询复杂度。该方法显著降低了搜索、优化和绝热态制备等量子算法的资源消耗。

ABSTRACT

Quantum algorithms for diverse problems, including search and optimization problems, require the implementation of a reflection operator over a target state. Commonly, such reflections are approximately implemented using phase estimation. Here we use a linear combination of unitaries and a version of amplitude amplification to approximate reflection operators over eigenvectors of unitary operators using exponentially less ancillary qubits in terms of a precision parameter. The gate complexity of our method is also comparable to that of the phase estimation approach in a certain limit of interest. Like phase estimation, our method requires the implementation of controlled unitary operations. We then extend our results to the Hamiltonian case where the target state is an eigenvector of a Hamiltonian whose matrix elements can be queried. Our results are useful in that they reduce the resources required by various quantum algorithms in the literature. Our improvements also rely on an efficient quantum algorithm to prepare a quantum state with Gaussian-like amplitudes that may be of independent interest. We also provide a lower bound on the query complexity of implementing approximate reflection operators on a quantum computer.

研究动机与目标

• 减少实现酉算符特征向量上近似反射算符所需的辅助量子比特数量。
• 在与相位估计算法相比显著降低量子比特开销的同时，保持较低的门操作和查询复杂度。
• 将该方法推广至哈密顿量情形，其中目标态是具有查询可访问矩阵元的哈密顿量的特征向量。
• 建立反射实现的查询复杂度下界，明确理论极限。

提出的方法

• 使用线性组合酉操作（LCU）将反射操作分解为受控酉演化叠加的形式。
• 应用一种振幅放大变体——称为无偏振幅放大（OAA）——在不预先知晓目标态的情况下放大所需分量。
• 采用一种高效的量子算法制备具有高斯型振幅的态，该态被用作反射构造中的资源态。
• 在 Δ = O(1/log(1/ε)) 的极限下，利用近似量子傅里叶变换以降低门操作复杂度。
• 通过将 U 和 U† 的受控应用与初始化为特殊制备的高斯型叠加态的辅助量子比特相结合，构造反射算符。
• 通过利用哈密顿量 H 的矩阵元查询访问，将该框架推广至哈密顿量情形，实现对 H 特征向量的反射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在实现酉算符特征向量上的反射算符时，相比相位估计算法，实现指数级减少辅助量子比特数量？
• RQ2 实现对目标特征向量的 ε-近似反射所需的最小查询和门操作复杂度是多少？
• RQ3 与相位估计算法相比，使用线性组合酉操作和无偏振幅放大在资源效率方面表现如何？
• RQ4 该方法能否推广至目标态为具有查询可访问矩阵元的哈密顿量特征向量的情形？
• RQ5 实现此类近似反射的查询复杂度是否存在理论下界？

主要发现

• 所提方法将辅助量子比特数量从相位估计算法中的 O(log(1/ε)log(1/Δ)) 降低至 O(log log(1/ε) + log(1/Δ))，实现指数级改进。
• 门操作复杂度为 O(log(1/Δ) log(log(1/Δ)/ε))，在 Δ = O(1/log(1/ε)) 的极限下与相位估计算法相当。
• 查询复杂度保持在 O(log(1/ε)/Δ)，与相位估计算法一致，并在对数因子范围内达到理论下界。
• 开发了一种新的制备具有高斯型振幅态的量子算法，该算法在其他量子算法中也可能具有独立应用价值。
• 建立了查询复杂度的下界为 Ω((1/Δ)√log(1/(Δ+ε)))，在 ε = O(Δ) 时成立，表明该方法在该参数区间内近乎最优。
• 该方法可推广至哈密顿量情形，实现 n_H = O(log log(1/ε) + log(1/Δ)) 的辅助量子比特数量，优于相位估计算法，并与目前已知最佳结果一致。