[论文解读] Index theory, eta forms, and Deligne cohomology

Ulrich Bunke|ArXiv.org|Jan 14, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文为具有角的流形上的狄拉克算子族发展了一套指标理论，通过德利涅上同调引入了精细化的障碍理论。通过结合局部指标理论、η-形式与狄拉克算子的调和化（taming），将指标的第k个陈类上抬至第k个整德利涅上同调，提供了K-理论中二级不变量的几何精化，并将经典指标理论推广至具有任意余维边界面的奇异空间。

ABSTRACT

The Chern classes of a K-theory class which is represented by a vector bundle with connection admit refinements to Cheeger-Simons classes in Deligne cohomology. In the present paper we consider similar refinements in the case where the classes in K-theory are represented by geometric families of Dirac operators. In low dimensions these refinements correspond to the exponentiated eta-invariant, the determinant line bundle with Quillen metric and Bismut-Freed connection, and Lott's index gerbe with connection and curving. We give a unified treatement of these cases as well as their higher generalizations. Our main technical tool is a variant of local index theory for Dirac operators of families of manifolds with corners.

研究动机与目标

• 将指标理论扩展至具有任意余维角的流形上的狄拉克算子族，其中由于边界奇点的存在，标准弗雷德霍姆理论失效。
• 通过归纳约化过程，为从边界面到内部扩展调和化（可逆扰动）建立系统的障碍理论。
• 将从(i−1)维子复形到i维子复形扩展调和化的第k个整上同调类障碍，精化为i维德利涅上同调中的类，捕捉超出上同调的几何与拓扑数据。
• 通过结合局部指标形式与η-形式，构造狄拉克算子族指标的微分几何精化，得到包含边界贡献的德拉姆代表。

提出的方法

• 本文引入了狄拉克算子的“调和化”概念，即通过光滑算子的可逆扰动，使在具有角的流形上构造弗雷德霍姆算子成为可能。
• 系统地发展了边界约化方法，以归纳方式分析具有角流形上的指标问题，将问题约化至低余维的面。
• 通过构造局部指标形式与边界面的η-形式贡献之和，将局部指标理论扩展至具有角的流形，得到陈特征的德拉姆代表。
• 利用局部指标理论中的传导形式，在指标为零时对德拉姆代表进行平凡化，从而实现二级不变量的构造。
• 通过障碍理论与调和化的几何结构，构造了指标的第k个陈类到德利涅上同调的典范上抬。
• 该理论在低度下与已知几何对象相容：k=1时为η-不变量，k=2时为行列式线丛，k=3时为指标gerbe。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将狄拉克算子的指标理论扩展至具有任意余维角的流形，其中标准边界条件失效？
• RQ2 从流形边界到内部扩展狄拉克算子调和化的障碍是什么？该障碍能否被系统地计算？
• RQ3 能否将阻碍从(i−1)维到i维子复形扩展调和化的第k个整上同调类障碍，精化为第k个德利涅上同调中的类？该精化编码了何种几何数据？
• RQ4 η-形式与局部指标形式如何结合，以在存在边界面时表示指标的陈特征？
• RQ5 对于狄拉克算子族，德利涅上同调中精化的障碍类的几何解释是什么？

主要发现

• 本文通过归纳调和化过程在具有角的流形上构造了弗雷德霍姆算子结构，障碍源于边界约化。
• 在具有角的流形上，狄拉克算子族的指标的陈特征由一个包含局部指标形式与边界面η-形式贡献的德拉姆形式表示。
• 当指标为零时，局部指标理论中的传导形式提供了德拉姆代表的微分精化，从而实现二级不变量的构造。
• 从(i−1)维到i维子复形扩展调和化的障碍类被上抬至第i个整德利涅上同调类，精化了经典的上同调障碍。
• 该构造提供了指标第k个陈类到德利涅上同调的典范上抬，当k=1,2,3时，分别恢复了已知的几何对象：η-不变量、带连接的行列式线丛与指标gerbe。
• 该理论与已知几何实现相容：k=1对应η-不变量，k=2对应带连接的行列式丛，k=3对应几何gerbe，确认了与既有的指标理论的一致性。