[论文解读] Infinitely many monotone Lagrangian tori in del Pezzo surfaces

Renato Vianna|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文通过几乎 toric 纤维丛（ATFs）和三角形几乎 toric 基础图（ATBDs），在 del Pezzo 表面 $\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$（$k = 0,3,4,5,6,7,8$）中构造了无穷多个单调拉格朗日子流形环面的对称微分同胚类。通过马尔可夫型方程证明了此类环面的无穷存在性，并将结果扩展至 $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$，同时推测在 $k=2$ 时也存在无穷多类，且这些环面在进行对称化后，可产生无穷多个在对称化正端补集中的精确拉格朗日子流形环面。

ABSTRACT

We construct almost toric fibrations (ATFs) on all del Pezzo surfaces, endowed with a monotone symplectic form. Except for $\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$ and $\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$ , we are able to get almost toric base diagrams (ATBDs) of triangular shape and prove the existence of infinitely many symplectomorphism (in particular Hamiltonian isotopy) classes of monotone Lagrangian tori in $\mathbb{C}P^2 \# k \overline{\mathbb{C}P^2}$, for k=0,3,4,5,6,7,8. We name these tori $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$. Using the work of Karpov-Nogin, we are able to classify all ATBDs of triangular shape. We are able to prove that $\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$ also have infinitely many monotone Lagrangian tori up to symplectomorphism and we conjecture that the same holds for $\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$ . Finally, the Lagrangian tori $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ inside a del Pezzo surface $X$ can be seen as monotone fibres of ATFs, such that, over its edge lies a fixed anticanonical symplectic torus $Σ$. We argue that $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ give rise to infinitely many exact Lagrangian tori in $X \setminus Σ$, even after attaching the positive end of a symplectization to the boundary of $X \setminus Σ$.

研究动机与目标

• 在单调 del Pezzo 表面中构造无穷多个单调拉格朗日子流形环面的对称微分同胚类。
• 将 $\mathbb{C}P^2$ 中的节点变换与滑动方法扩展至所有 $\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$（$k \neq 1,2$）。
• 利用 Karpov-Nogin 的工作对三角形形状的 ATBDs 进行分类，并证明其在 $k=0,3,4,5,6,7,8$ 时的存在性。
• 证明所构造的环面 $\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ 在附加对称化后，可在 $X\setminus\Sigma$ 中产生无穷多个精确拉格朗日子流形环面。
• 推测在 $\mathbb{C}P^2\#2\overline{\mathbb{C}P}^2$ 中存在无穷多个此类环面，并将构造与 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 退化联系起来。

提出的方法

• 通过在矩量多面体上进行节点变换和节点滑动，在所有单调 del Pezzo 表面中构造几乎 toric 纤维丛（ATFs）。
• 使用三角形形状的几乎 toric 基础图（ATBDs）通过马尔可夫型 I 和 II 方程参数化单调拉格朗日子流形环面。
• 应用边界 Maslov-2 凸包 $\mho_L$ 不变量，基于伪全纯圆盘计数来区分环面的对称微分同胚类。
• 利用颈部拉伸技术与加权射影空间 $\mathbb{C}P(a^2,b^2,c^2)$ 中的交点正性来计算 $\mho_L$。
• 通过 Hacking-Prokhorov 理论将 ATBDs 与层的 $m$-块族及 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 平坦化联系起来。
• 使用辅助 Lefschetz 纤维丛，将 ATBD 的退化解释为具有不可平移纤维的奇异拉格朗日子纤维丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 del Pezzo 表面 $\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$（$k=0,3,4,5,6,7,8$）是否都存在无穷多个单调拉格朗日子流形环面的对称微分同胚类？
• RQ2 能否将构造无穷多个单调拉格朗日子流形环面的方法扩展至 $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$ 和 $\mathbb{C}P^2\#2\overline{\mathbb{C}P}^2$？
• RQ3 del Pezzo 表面中的单调拉格朗日子流形环面是否可通过 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 平坦化检测到向极限轨道丛的退化？
• RQ4 本文描述的 ATBDs 是否支持无穷多个不可平移的拉格朗日纤维？
• RQ5 del Pezzo 表面中层的 $m$-块族与它们的 ATBD 中的节点类型之间是否存在对应关系？

主要发现

• 在 $\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$（$k=0,3,4,5,6,7,8$）中存在无穷多个单调拉格朗日子流形环面的对称微分同胚类，其参数化形式为 $\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$。
• 该构造依赖于三角形形状的 ATBDs，其通过 Karpov-Nogin 关于 3-块族的工作得到完全分类。
• 对于 $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$，已证明存在无穷多个此类环面，且对 $k=2$ 的情形也提出了相同猜想。
• 拉格朗日子流形环面 $\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ 是 ATF 的单调纤维，其固定的对偶极性对称环面 $\Sigma$ 位于一条边上。
• 即使在附加对称化正端后，这些环面仍可在 $X\setminus\Sigma$ 中产生无穷多个精确拉格朗日子流形环面。
• 本文建立了 ATBDs 与轨道极限的 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 平坦化之间的联系，暗示拉格朗日子流形可能能够检测退化过程。