[论文解读] Mirror symmetry and T-duality in the complement of an anticanonical divisor

Denis Auroux|ArXiv.org|Jun 21, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 25被引用 295

一句话总结

本文研究了紧致凯勒流形中反 canonical 除子补集内的镜像对称与 T-对偶性，通过具有平坦 U(1) 连接的特殊拉格朗日子流形的模空间提出镜像构造，并定义了由 m₀ 障碍决定的超势能。研究表明，Maslov 指数为 0 的全纯圆盘带来的量子修正至关重要，并为一个相对的同调镜像对称猜想提供了证据，该猜想将镜像的 Fukaya 类与除子上的凝聚层导出范畴联系起来。

ABSTRACT

We study the geometry of complexified moduli spaces of special Lagrangian submanifolds in the complement of an anticanonical divisor in a compact Kahler manifold. In particular, we explore the connections between T-duality and mirror symmetry in concrete examples, and show how quantum corrections arise in this context.

研究动机与目标

• 理解镜像对称与 T-对偶性在非卡拉比-丘情形下的几何关系，特别是反 canonical 除子补集中的情形。
• 研究当流形非卡拉比-丘时，Maslov 指数为 0 的全纯圆盘带来的量子修正如何影响此情境下的镜像构造。
• 提出并提供证据支持一个相对同调镜像对称猜想，将镜像的 Fukaya 类与除子上的凝聚层联系起来。
• 通过分析非紧致、非卡拉比-丘情形下的特殊拉格朗日子纤维化，将 Strominger-Yau-Zaslow 猜想推广至卡拉比-丘流形之外。
• 阐明超势能 m₀ 在定义镜像 Landau-Ginzburg 模型中的作用，及其与量子上同调和墙穿跃现象的关联。

提出的方法

• 将镜像流形 M 构造为 X\D 中具有平坦 U(1) 连接的特殊拉格朗日子流形的模空间。
• 利用 Fukaya-Oh-Ohta-Ono 理论中的 m₀ 障碍定义一个超势能 W: M → ℂ，该障碍衡量了 Floer 同调定义的障碍。
• 分析特殊拉格朗日子流形复化模空间的几何结构，重点关注 ψ-调和 1-形式及其在形变理论中的作用。
• 在镜像中引入允许的拉格朗日子流形，其边界位于纤维 M_D = {z_δ = 1}，以确保尽管存在墙穿跃，Floer 同调仍能良好定义。
• 使用一个缩放极限（猜想 4.4）将超势能简化为 W = z_δ + o(1)，从而消除墙穿跃带来的复杂性。
• 提出一个限制函子 ρ，从镜像的 Fukaya 类映射到 M_D 的 Fukaya 类，将镜像的 A 模型与除子 D 的 B 模型联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Fano 或凯勒流形中，反 canonical 除子补集内，T-对偶性如何与镜像对称相关联？
• RQ2 当流形非卡拉比-丘时，Maslov 指数为 0 的全纯圆盘带来的量子修正在镜像构造中起到何种作用？
• RQ3 在特殊拉格朗日子流形模空间中存在墙穿跃现象时，m₀ 超势能如何一致地定义？
• RQ4 超势能的临界值与原始流形 X 的量子上同调之间存在何种关系？
• RQ5 镜像 Landau-Ginzburg 模型的 Fukaya 类在多大程度上范畴性地镜像了反 canonical 除子 D 上的凝聚层导出范畴？

主要发现

• 通过 m₀ 障碍定义的超势能 W 是多值的，这是由于墙穿跃所致，因此必须对朴素镜像猜想进行修改。
• Maslov 指数为 0 的全纯圆盘带来的量子修正预计在非卡拉比-丘情形下发挥类似于卡拉比-丘情形的作用，从而修正镜像几何。
• 由特殊拉格朗日子流形构造的镜像流形 M 是不完备的，这表明如猜想 4.4 所提议的，需要引入重整化极限。
• 在镜像 M 中，边界位于 M_D 的允许拉格朗日子流形允许定义良好的 Floer 同调理论，从而避免了墙穿跃带来的问题。
• 限制函子 ρ: F(M, M_D) → F(M_D) 是良好定义的，并且在如 Del Pezzo 曲面等已知例子中与预期行为一致。
• 提供了对猜想 7.7 的证据：一个交换图，将 X 和 D 上凝聚层的导出范畴与 M 和 M_D 的 Fukaya 类联系起来，暗示了相对同调镜像对称。