[论文解读] Infinitesimal Symmetries of Dixmier-Douady Gerbes

Braxton Livingston Collier|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文引入了狄克西米耶-道迪纤维从丛的无穷小对称性，涵盖带连接结构与不带连接结构的情形，并通过这些对称性，直接构造了带有连接结构的纤维从丛所关联的考兰特代数丛。研究证明，考兰特代数丛自然地作为无穷小对称性的空间出现，从而精确实现了阿蒂亚代数丛与考兰特代数丛之间形式类比的几何实现。

ABSTRACT

We introduce the infinitesimal symmetries of Dixmier-Douady gerbes over a manifold M, both with and without connective structures and curvings. We explore the algebraic structure possessed by these symmetries, and relate them to equivariant gerbes via a "differentiation functor". In the case that a gerbe G is equipped with a connective structure A, we give a new construction of the Courant algebroid associated to (G,A) directly in terms of the infinitesimal symmetries of (G,A).

研究动机与目标

• 定义并研究流形 M 上的狄克西米耶-道迪纤维从丛的无穷小对称性，涵盖带连接结构与不带连接结构的情形。
• 通过一个将有限对称性与无穷小对称性联系起来的“微分函子”，将这些对称性与等变纤维从丛联系起来。
• 提供一个带有连接结构的纤维从丛所关联的考兰特代数丛的几何构造，从而解决推广几何中长期存在的形式类比问题。

提出的方法

• 本文将无穷小对称性定义为保持纤维从丛结构的导子，推广了主丛无穷小自同构的概念。
• 构造了一个函子，将等变纤维从丛映射到其关联的无穷小对称代数，从而建立从有限对称性到无穷小对称性的微分过程。
• 对于带有连接结构的纤维从丛，本文利用李导数和曲率形式，在关联的对称线丛上构造了一个联络。
• 通过局部联络的粘合与过渡函数下的相容性验证，定义了无穷小对称空间上的考兰特代数丛结构。
• 该构造利用局部平凡化和过渡数据来定义全局对象，确保其自然性并兼容于限制映射。
• 证明了所得的考兰特代数丛通过一个尊重联络和过渡数据的自然等价，与标准考兰特代数丛同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义狄克西米耶-道迪纤维从丛的无穷小对称性？它们构成何种代数结构？
• RQ2 带有连接结构的纤维从丛的无穷小对称性与关联的考兰特代数丛之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否从无穷小对称性出发，几何地构造考兰特代数丛，而非仅形式化地？
• RQ4 微分函子如何将等变纤维从丛与其无穷小对称代数联系起来？
• RQ5 通过对称性构造考兰特代数丛的过程是否为全忠实且本质满射？

主要发现

• 狄克西米耶-道迪纤维从丛的无穷小对称性构成一个李代数从丛结构，推广了主丛的阿蒂亚代数从丛。
• 带有连接结构的纤维从丛所关联的考兰特代数丛，与该结构下纤维从丛的无穷小对称性空间之间存在自然同构。
• 考兰特代数丛的构造是几何的：它源于通过李导数和曲率形式定义的局部对称丛联络的粘合。
• 从带有连接结构的纤维从丛范畴到考兰特代数丛范畴的映射是全忠实且本质满射，从而建立了范畴等价。
• 对称丛上的联络与过渡数据相容，并在规范变换下正确变换，确保了全局一致性。
• 本文通过证明后者是带有连接结构的纤维从丛的无穷小对称代数从丛，从而解决了阿蒂亚代数丛与考兰特代数丛之间形式类比的问题。