[论文解读] Bundle gerbes

Michael K. Murray|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 226

一句话总结

本文将丛丛（bundle gerbes）引入为三维整上同调的几何实现，类似于主丛对二维上同调的实现。它证明了每个丛丛都可通过其Dixmier-Douady类导出一个丛（gerbe），并发展了丛丛联络与曲率的理论，为理解微分几何中的高阶规范理论和特征类提供了新框架。

ABSTRACT

Just as $\Cstar$ principal bundles provide a geometric realisation of two-dimensional integral cohomology; gerbes or sheaves of groupoids, provide a geometric realisation of three dimensional integral cohomology through their Dixmier-Douady class. I consider an alternative, related, geometric realisation of three dimensional cohomology called a bundle gerbe. Every bundle gerbe gives rise to a gerbe and most of the well-known examples examples of gerbes are bundle gerbes. I discuss the properties of bundle gerbes, in particular bundle gerbe connections and curvature and their associated Dixmier-Douady class.

研究动机与目标

• 通过丛丛提供三维整上同调的新几何实现。
• 通过Dixmier-Douady类建立丛丛与丛（gerbe）之间的关系。
• 在微分几何背景下发展丛丛联络与曲率的理论。
• 通过证明已知的丛（gerbe）例子自然地表现为丛丛，推广已知例子。

提出的方法

• 本文在流形上构造丛丛作为纤维范畴，配备在纤维积上的丛状结构。
• 将丛丛联络定义为与丛结构相容的丛丛上的联络。
• 曲率定义为联络的曲率，其在de Rham上同调中映射到Dixmier-Douady类。
• 证明该理论通过丛丛构造重现了丛（gerbe）的标准Dixmier-Douady类。
• 将该框架应用于已知的丛（gerbe）例子，表明它们自然地作为丛丛出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了标准的丛（gerbe）构造外，三维整上同调能否有其他几何实现方式？
• RQ2 丛丛与丛（gerbe）之间的关系在Dixmier-Douady类的意义下是怎样的？
• RQ3 丛丛上的联络与曲率如何与微分上同调中的特征类相关？
• RQ4 标准的丛（gerbe）例子能否自然地被解释为丛丛？

主要发现

• 每个丛丛都导出一个具有明确Dixmier-Douady类的丛（gerbe），该类属于 H^3(X, Z)。
• 丛丛联络及其曲率在de Rham上同调中提供了Dixmier-Douady类的微分提升。
• 丛丛联络的曲率是一个闭的3-形式，其在de Rham同构下表示Dixmier-Douady类的像。
• 大多数已知的丛（gerbe）例子均被证明可实现为丛丛，表明其具有广泛适用性。