[论文解读] Integral models of Shimura varieties with parahoric level structure

Mark Kisin, G. Pappas|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 8

一句话总结

本论文在群 $G$ 属于阿贝尔型且在 $\mathbb{Q}_p$ 的一个可 tame 作用扩张上分裂的条件下，为在素数 $p > 2$ 处具有抛物型水平结构的希米亚瓦变体构造了积分模型。这些模型的局部结构通过群论定义的“局部模型”来描述，作者证明了邻近层的上同调满足科特维茨关于弗罗贝尼乌斯半单迹的猜想，明确地将其与抛物型赫克代数中的伯恩斯坦函数联系起来。

ABSTRACT

For an odd prime p, we construct integral models over p for Shimura varieties with parahoric level structure, attached to Shimura data (G,X) of abelian type, such that G splits over a tamely ramified extension of Q_p. The local structure of these integral models is related to certain "local models", which are defined group theoretically. Under some additional assumptions, we show that these integral models satisfy a conjecture of Kottwitz which gives an explicit description for the trace of Frobenius action on their sheaf of nearby cycles.

研究动机与目标

• 为在 $p > 2$ 处具有抛物型水平结构的希米亚瓦变体构造平坦的、$\mathcal{O}_E$-积分模型，将其在反射域 $E$ 上的典范模型进行延拓。
• 将这些积分模型的局部结构与在格拉斯曼流形中定义的显式群论型“局部模型”（即轨道闭包）相关联。
• 验证科特维茨的一个猜想，即以抛物型赫克代数中的伯恩斯坦函数来描述邻近层上弗罗贝尼乌斯半单迹。
• 将朗兰兹–科特维茨方法推广至抛物型水平结构情形，特别针对阿贝尔型且具有可 tame 作用的希米亚瓦变体。

提出的方法

• 利用平坦 $\mathcal{O}_E$-概形的延拓性质构造积分模型，确保与 $G(\mathbb{A}_f^p)$-作用及小紧开子群商的兼容性。
• 利用布雷厄特–蒂茨理论，将建筑物 $\mathcal{B}(G, \mathbb{Q}_p)$ 中的一点与 $G(\mathbb{Q}_p)$ 中的一个抛物型子群 $\mathsf{K}_p^\circ$ 关联，从而得到 $\mathbb{Z}_p$ 上的光滑群概形 $\mathcal{G}^\circ$。
• 将局部模型 $\mathrm{M}^{\mathrm{loc}}_{G,X}$ 定义为格拉斯曼流形中的轨道闭包，赋予 $\mathcal{G}^\circ$-作用，并通过局部–整体相容性将其与全局积分模型关联。
• 应用 $p$-除子群的形变理论，结合晶体或埃泰勒循环，分析积分模型的局部结构。
• 通过伯恩斯坦同构将问题约化为赫克代数的比较，识别出抛物型赫克代数中心中相关的伯恩斯坦函数。
• 利用伯恩斯坦同构与萨塔克同构的相容性，将局部模型上的特征函数与邻近层上弗罗贝尼乌斯的迹联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在群 $G$ 的弱条件限制下，能否为在 $p > 2$ 处具有抛物型水平结构的希米亚瓦变体构造积分模型？
• RQ2 此类积分模型的局部结构如何与群论定义的“局部模型”相关联？
• RQ3 这些积分模型上邻近层的弗罗贝尼乌斯半单迹是否满足科特维茨猜想？
• RQ4 邻近层上弗罗贝尼乌斯的迹能否显式地用抛物型赫克代数中的伯恩斯坦函数表示？
• RQ5 当 $G$ 无ramified 时，惯性作用在邻近层上的作用是什么？

主要发现

• $E$-概形 $\mathrm{Sh}_{\mathsf{K}^\circ_p}(G,X)$ 允许一个 $G(\mathbb{A}_f^p)$-等变的平坦积分模型 $\mathscr{S}_{\mathsf{K}^\circ_p}(G,X)$，其定义在 $\mathcal{O}_E$ 上，并满足延拓性质。
• 当 $G$ 无ramified 且 $p \nmid |\pi_1(G^{\mathrm{der}})|$ 时，惯性群在积分模型的邻近层上作用为幂零。
• 在点 $y \in \mathscr{S}(\mathbb{F}_q)$ 处，邻近层上弗罗贝尼乌斯的半单迹为 $q^{d/2} z_{\mu,r}(w)$，其中 $w \in \mathrm{M}^{\mathrm{loc}}_{G,X}$ 对应于 $y$，而 $z_{\mu,r}$ 是抛物型赫克代数 $C_c(P_r \backslash G(E_r)/P_r)$ 中心的伯恩斯坦函数。
• 与局部模型相关的函数 $\varphi_r$ 被识别为抛物型赫克代数中唯一的中心函数，其在伯恩斯坦同构下的像为对应于 $\mu'$ 的双陪集的特征函数。
• 同构 $C_r(\mathsf{P}'_r \backslash G'(\mathbb{F}_q((t)))/\mathsf{P}'_r) \cong C_c(P_r \backslash G(E_r)/P_r)$ 将伯恩斯坦函数 $z'_{\mu',r}$ 映射为 $z_{\mu,r}$，从而确认了局部与全局迹公式的相容性。
• 该结果在以下任一条件下成立：$(G^{\mathrm{ad}}, X^{\mathrm{ad}})$ 不含类型 $D^\mathbb{H}$ 的因子，或 $\mathsf{K}_p^\circ$ 包含于一个超特殊子群中。