[论文解读] Interplay Between Approximation Theory and Renormalization Group

V. I. Yukalov|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 307被引用 13

一句话总结

本文提出了两种先进的近似方法——优化微扰理论（OPT）与自相似近似理论（SSAT）——可在缺乏小参数的情况下，对发散的微扰级数进行精确求和。通过引入控制函数并将近似序列建模为动力系统，这些方法能够恢复收敛性，并以高精度重现精确解或数值结果，揭示出类似于重整化群理论中的隐藏对称性。

ABSTRACT

The review presents general methods for treating complicated problems that cannot be solved exactly and whose solution encounters two major difficulties. First, there are no small parameters allowing for the safe use of perturbation theory in powers of these parameters, and even when small parameters exist, the related perturbative series are strongly divergent. Second, such perturbative series in powers of these parameters are rather short, so that the standard resummation techniques either yield bad approximations or are not applicable at all. The emphasis in the review is on the methods advanced and developed by the author. One of the general methods is {\it Optimized Perturbation Theory} now widely employed in various branches of physics, chemistry, and applied mathematics. The other powerful method is {\it Self-Similar Approximation Theory} allowing for quite simple and accurate summation of divergent series. These theories share many common features with the method of renormalization group, which is briefly sketched in order to stress the similarities in their ideas and their mutual interconnection.

研究动机与目标

• 解决物理学与数学中非线性及强耦合问题的挑战，标准微扰理论因缺乏小参数而失效。
• 开发系统化方法，利用控制函数与自相似动力学对发散渐近级数进行求和，即使仅有少量项亦可实现。
• 通过突出固定点行为与隐藏对称性等共性原则，建立近似理论与重整化群理论之间的概念与数学桥梁。
• 通过在量子场论、统计力学、凝聚态物理与原子物理中的应用，证明这些方法的有效性，包括精确解的恢复与与数值数据的一致性。

提出的方法

• 优化微扰理论通过在初始近似或微扰展开中引入控制函数，重新组织发散级数，利用基于柯西判别法导出的优化条件确保收敛性。
• 优化条件（如最小差值或最小导数准则）逻辑地源自柯西判别法，确保自洽性，避免人为假设。
• 自相似近似理论将近似序列建模为离散动力系统（近似级联），通过分形变换将其嵌入连续流中，以加速收敛。
• 该方法基于序列的自相似结构，构建各类近似子（根式、嵌套式、指数式、加法式、因子式及组合式近似子），实现对耦合常数有限或无限值的精确外推。
• 通过近似流的稳定性分析确保收敛性，类似于重整化群中的固定点分析。
• 两种方法均被证明在存在精确解时可准确恢复，且即使仅有少量微扰项，其结果也与数值计算高度一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不存在小参数或级数强烈发散时，如何系统地对发散微扰级数进行求和？
• RQ2 构建用于优化微扰展开收敛性的控制函数的数学与物理基础是什么？
• RQ3 近似序列中的自相似结构在多大程度上可用于建模类似于重整化群流的动力学？
• RQ4 所提出的方法如何仅用少量项即能恢复精确解或匹配数值结果？
• RQ5 隐藏对称性在渐近序列中起什么作用？如何通过控制函数或变换规律揭示它们？

主要发现

• 这些方法仅用少量微扰项即可对物理量实现高精度近似，其结果在有可用时与数值解极为接近。
• 自相似近似理论在谐振子的非谐振子本征值问题与类氢原子基态能量问题中成功重建了精确解。
• 在临界现象中，该理论准确预测了自旋系统与玻色气体的临界指数，与其它方法的结果一致。
• 在量子场论中，包括量子色动力学与量子电动力学，利用自相似因子近似子高精度重构了盖尔曼-洛函数。
• 基于柯西判别法导出的优化条件确保了逻辑一致性，并导致最快收敛行为，使该方法有别于启发式方法。
• 该框架揭示了近似理论与重整化群理论之间的深刻联系，表明两者均依赖于渐近序列中的固定点动力学与隐藏对称性原理。