[论文解读] Intrinsic Interleaving Distance for Merge Trees

Ellen Gasparovic, Elizabeth Munch+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 48被引用 19

一句话总结

本文证明了交错距离对于带标签和不带标签的合并树均为内在距离，即任意两棵合并树之间的距离等于连接它们的路径长度的下确界。作者提出了一种算法，用于计算带标签合并树集合的1-中心（测地线中点），从而支持对拓扑摘要进行统计分析。

ABSTRACT

Merge trees are a type of graph-based topological summary that tracks the evolution of connected components in the sublevel sets of scalar functions. They enjoy widespread applications in data analysis and scientific visualization. In this paper, we consider the problem of comparing two merge trees via the notion of interleaving distance in the metric space setting. We investigate various theoretical properties of such a metric. In particular, we show that the interleaving distance is intrinsic on the space of labeled merge trees and provide an algorithm to construct metric 1-centers for collections of labeled merge trees. We further prove that the intrinsic property of the interleaving distance also holds for the space of unlabeled merge trees. Our results are a first step toward performing statistics on graph-based topological summaries.

研究动机与目标

• 确定交错距离是否为带标签和不带标签合并树的内在距离，这是对拓扑摘要进行统计分析的关键要求。
• 开发一种基于交错距离计算带标签合并树空间中1-中心（测地线中点）的算法。
• 扩展对基于图的拓扑摘要度量性质的理论理解，特别是在科学数据分析与可视化背景下的应用。
• 弥合系统发育学、超度量空间和分类树与拓扑数据分析之间的概念联系，表明带标签合并树等价于特定的超度量空间。
• 为在合并树空间中计算平均值与测地线奠定基础理论，支持在不确定性量化与集合可视化等应用中的使用。

提出的方法

• 使用范畴论框架在带标签合并树上定义交错距离 $d_I$，将合并树视为从实数偏序集到集合范畴的函子。
• 证明由 $d_I$ 导出的内在度量 $\hat{d}_I$ 满足对所有带标签合并树 $T, T'$ 都有 $\hat{d}_I(T, T') = d_I(T, T')$，从而确立其内在性。
• 通过利用交错距离的 $L_\infty$-矩阵表示，构造连接两棵带标签合并树的测地线路径，实现显式路径构造。
• 利用矩阵公式，将有限组带标签合并树的1-中心定义为使最大交错距离最小化的点。
• 通过证明即使在无顶点标签的情况下，内在度量 $\hat{d}_I$ 仍与 $d_I$ 一致，将内在性结果扩展至不带标签的合并树。
• 借助与超度量空间及分类树的联系，将带标签合并树解释为具有路径长度距离（由函数值诱导）的加权分类树。

实验结果

研究问题

• RQ1 交错距离在带标签合并树空间上是否为内在距离，即该距离是否等于连接两棵树的路径长度的下确界？
• RQ2 能否在交错距离下高效计算有限组带标签合并树的1-中心（测地线中点）？
• RQ3 尽管缺少顶点标签，交错距离的内在性质是否也适用于不带标签的合并树？
• RQ4 瓶颈距离 $d_B$ 是否能诱导出一个与内在交错距离 $\hat{d}_I$ 等价的内在度量 $\hat{d}_B$？
• RQ5 在通过合并树与分裂树分解计算中点方面，合并树的相关结果在多大程度上可推广至轮廓树？

主要发现

• 交错距离 $d_I$ 在带标签合并树空间上是内在的，即对所有带标签合并树对 $T, T'$ 都有 $\hat{d}_I(T, T') = d_I(T, T')$。
• 本文提供了一种显式算法，基于 $L_\infty$-矩阵公式，用于在交错距离下计算有限组带标签合并树的1-中心。
• 尽管缺乏顶点标签，交错距离的内在性质同样适用于不带标签的合并树。
• 本文建立了带标签合并树与超度量空间之间的联系，表明此类树在等距同构下等价于有限超度量空间。
• 作者推测由瓶颈距离 $d_B$ 导出的内在度量 $\hat{d}_B$ 与 $\hat{d}_I$ 等价，暗示 $d_B$ 也可能具有内在性。
• 理论结果为未来在合并树空间中计算测地线与结构平均值提供了支持，已在后续工作中用于不确定性可视化与点云分类等应用中得到验证。