[论文解读] Invariance principle and rigidity of high entropy measures

Ali Tahzibi, Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文提出了光滑动力系统中不变性原理的一种基于熵的新准则，为具有零中心李雅普诺夫指数的不变测度的已知结果提供了简化证明。此外，本文证明了对于具有一维紧致中心叶状结构的 $C^2$ 部分双曲微分同胚，若存在高熵遍历测度，则系统必为旋转型——即与阿诺索夫微分同胚的等距提升共轭——从而为这类系统建立了刚性结果。

ABSTRACT

A deep analysis of the Lyapunov exponents, for stationary sequence of matrices going back to Furstenberg, for more general linear cocycles by Ledrappier and generalized to the context of non-linear cocycles by Avila and Viana, gives an invariance principle for invariant measures with vanishing central exponents. In this paper, we give a new criterium formulated in terms of entropy for the invariance principle and in particular, obtain a simpler proof for some of the known invariance principle results. As a byproduct, we study ergodic measures of partially hyperbolic diffeomorphisms whose center foliation is 1-dimensional and forms a circle bundle. We show that for any such C2 diffeomorphism which is accessible, weak hyperbolicity of ergodic measures of high entropy implies that the system itself is of rotation type.

研究动机与目标

• 为动力系统中的不变性原理制定一种基于熵的新准则。
• 为具有零中心李雅普诺夫指数的测度提供不变性原理的简化证明。
• 研究具有一个一维紧致中心叶状结构的偏双曲微分同胚中高熵遍历测度的刚性性质。
• 建立系统必为旋转型（即与阿诺索夫微分同胚的等距提升共轭）的条件。

提出的方法

• 作者基于膨胀叶状结构上的度量熵，引入了不变性原理的新准则，取代了以往基于李雅普诺夫指数的表述。
• 他们使用不稳定叶状结构上的熵 $h_{\nu}(f, \tilde{\nu})$，并通过变分原理将其与拓扑熵联系起来。
• 开发了一套可测工具，包括划分的收敛性以及条件划分上的熵，以分析极限测度。
• 证明利用了不变测度序列 $\mu_n$ 收敛到极限 $\mu_0$ 的性质，结合熵的连续性与划分细化技术。
• 作者应用了 Ledrappier-Young 理论和 Pesin 公式，将度量熵与李雅普诺夫指数关联起来。
• 他们证明，若存在高熵测度且中心指数为零，则系统必为旋转型，其证明基于中心指数有界性的反证法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种熵条件下，具有零中心李雅普诺夫指数的不变测度满足不变性原理？
• RQ2 能否使用熵而非李雅普诺夫指数重新证明不变性原理？
• RQ3 当遍历测度具有高熵时，具有一个一维紧致中心叶状结构的偏双曲微分同胚会表现出何种刚性性质？
• RQ4 是否存在高熵测度且中心指数为零，足以推出系统为旋转型？
• RQ5 当系统非旋转型时，Gibbs $u$-态的集合具有何种结构？

主要发现

• 建立了基于熵的不变性原理新准则，为先前已知结果提供了更简洁的证明。
• 对于具有一个一维紧致中心叶状结构的 $C^2$ 部分双曲微分同胚，若遍历测度具有高熵，则系统必为旋转型。
• 若系统非旋转型，则 Gibbs $u$-态集合 $\operatorname{Gibb}^{u}_{\nu}(f)$ 与测度 $\mu^{-}_1, \dots, \mu^{-}_{k(-)}$ 的所有凸组合一致。
• 若一列遍历测度 $\mu_n$ 的熵趋近于拓扑熵且中心指数收敛于零，则极限测度的中心指数必非零，导致矛盾。
• 拓扑熵 $h_{\text{top}}(f)$ 等于中心映射的熵 $h_{\nu}(f_c)$，且该等式是刚性结果的关键。
• 当且仅当所有高熵遍历测度的中心指数一致远离零时，系统才与阿诺索夫微分同胚的等距提升共轭。