[论文解读] Invariant measure of scalar first-order conservation laws with stochastic forcing

Arnaud Debussche, Julien Vovelle|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文在通量满足非退化性与次立方增长条件下，于任意空间维数下建立了带随机强迫的标量一阶守恒律的不变测度的存在性与唯一性。通过动能形式化与随机平均引理，将 $L^1$ 解理论推广至次二次通量情形，证明了遍历性，推广了确定性与粘性情形下的结果。

ABSTRACT

Under an hypothesis of non-degeneracy of the flux, we study the long-time behaviour of periodic scalar first-order conservation laws with stochastic forcing in any space dimension. For sub-cubic fluxes, we show the existence of an invariant measure. Moreover for sub-quadratic fluxes we show uniqueness and ergodicity of the invariant measure. Also, since this invariant measure is supported by Lp for some p small, we are led to generalize to the stochastic case the theory of L1 solutions developed by Chen and Perthame in 2003.

研究动机与目标

• 建立周期性标量一阶守恒律在随机强迫下的长时间统计行为。
• 将一维随机Burgers方程的不变测度理论推广至高维情形。
• 在初始数据正则性假设最小化的前提下，为随机守恒律建立严格的 $L^1$ 解理论。
• 在通量满足非退化性与多项式增长条件时，证明不变测度的存在性与唯一性。
• 将动能形式化框架扩展至随机PDE，以追踪激波耗散并支持紧致性论证。

提出的方法

• 作者采用随机守恒律的动能形式化，将双曲PDE转化为含动能测度的动能方程，以追踪激波耗散。
• 通过将解分解为确定性部分 $u^0$、随机涨落 $u^lat$ 与势函数项 $P$，实现分别的先验估计。
• 利用源自 Bouchut 与 Desvillettes (1999) 的随机平均引理改进版本，推导出动能测度与随机项的统一有界性，确保在分布意义下的紧致性。
• 应用对角论证法，提取动能测度的弱收敛子列，从而证明极限不变测度的存在性。
• 为证明唯一性与遍历性，作者分析了解进入 $L^1$ 球所需的时间，并在小噪声下证明解的衰减性，利用 $L^1$ 中的压缩性。
• 通过截断 $T_n(u_0)$ 近似 $L^1$ 初始数据，并证明解与动能测度在 $L^1$ 中的收敛性，将理论推广至 $L^1$ 初始数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意空间维数下，带随机强迫的标量一阶守恒律是否存在不变测度？
• RQ2 在何种通量函数条件下，不变测度是唯一且遍历的？
• RQ3 能否将随机守恒律的 $L^1$ 解理论推广至支持低可积性不变测度的情形？
• RQ4 动能形式化如何促进随机情形下激波耗散与长时间行为的分析？
• RQ5 通量的非退化性在确保不变测度存在性与唯一性方面起何作用？

主要发现

• 在通量非退化且至多为立方增长的条件下，任意空间维数下带随机强迫的标量一阶守恒律存在不变测度。
• 对于次二次通量，不变测度唯一，且系统具有遍历性，即长时间统计行为与初始条件无关。
• 不变测度支撑于 $L^p(\bbT^N)$（$p$ 较小），因此需推广 $L^1$ 解理论以处理此类低可积性情形。
• 解映射在 $L^1$ 中具有压缩性，满足 $\|u^1(t) - u^2(t)\|_{L^1} \leq \|u_0^1 - u_0^2\|_{L^1}$ 几乎必然，确保稳定性。
• 解在 $L^1(\bbT^N)$ 中具有几乎必然连续轨迹，且不变测度为时间平均律的弱极限。
• 结果在乘性噪声下仍成立，且在与 Debussche 与 Vovelle (2010) 相同条件下，不变测度的存在性与唯一性得以保持。