[论文解读] Invariant random subgroups of linear groups

Tsachik Gelander, Yair Glasner|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 42被引用 11

一句话总结

该论文证明，对于具有简单、无中心的 Zariski 闭包的可数非阿贝尔线性群，每个非平凡不变随机子群（IRS）几乎必然由开子群组成，且存在一个自由子群，其在 IRS 空间上的作用诱导出概率空间的同构。关键结果表明，此类 IRS 支撑于与自由子群相交时无限生成的子群上，且 IRS 结构由环境群上的非离散群拓扑所控制。

ABSTRACT

Let $Γ< \mathrm{GL}_n(F)$ be a countable non-amenable linear group with a simple, center free Zariski closure, $\mathrm{Sub}(Γ)$ the space of all subgroups of $Γ$ with the, compact, metric, Chabauty topology. An invariant random subgroup (IRS) of $Γ$ is a conjugation invariant Borel probability measure on $\mathrm{Sub}(Γ)$. An $\mathrm{IRS}$ is called nontrivial if it does not have an atom in the trivial group, i.e. if it is nontrivial almost surely. We denote by $\mathrm{IRS}^{0}(Γ)$ the collection of all nontrivial $\mathrm{IRS}$ on $Γ$. We show that there exits a free subgroup $F < Γ$ and a non-discrete group topology $\mathrm{St}$ on $Γ$ such that for every $μ\in \mathrm{IRS}^{0}(Γ)$ the following properties hold: (i) $μ$-almost every subgroup of $Γ$ is open. (ii) $F \cdot Δ= Γ$ for $μ$-almost every $Δ\in \mathrm{Sub}(Γ)$. (iii) $F \cap Δ$ is infinitely generated, for every open subgroup. (iv) The map $Φ: (\mathrm{Sub}(Γ),μ) ightarrow (\mathrm{Sub}(F),Φ_* μ)$ given by $Δ\mapsto Δ\cap F$, is an $F$-invariant isomorphism of probability spaces. We say that an action of $Γ$ on a probability space, by measure preserving transformations, is almost surely non free (ASNF) if almost all point stabilizers are non-trivial. As a corollary of the above theorem we show that the product of finitely many ANSF $Γ$-spaces, with the diagonal $Γ$ action, is ASNF. Let $Γ< \mathrm{GL}_n(F)$ be a countable linear group, $A \lhd Γ$ the maximal normal amenable subgroup of $Γ$. We show that if $μ\in \mathrm{IRS}(Γ)$ is supported on amenable subgroups of $Γ$ then in fact it is supported on $\mathrm{Sub}(A)$. In particular if $A(Γ) = \langle e angle$ then $Δ= \langle e angle, μ$ almost surely.

研究动机与目标

• 理解具有非阿贝尔、无中心、Zariski 闭子群的可数线性群中不变随机子群（IRS）的结构。
• 建立此类群上非平凡 IRS 几乎必然支撑于开子群上。
• 证明存在一个自由子群，其在 IRS 空间上的作用诱导出概率空间的同构。
• 证明线性群的可解根捕获了所有可解 IRS，这意味着若可解根为平凡，则非平凡可解 IRS 不存在。
• 通过有限生成子群的逼近，将这些结果推广至非有限生成线性群。

提出的方法

• 在群 Γ 的子群空间上使用 Chabauty 拓扑，定义一个紧致可度量的子群空间。
• 应用不变随机子群（IRS）理论，将其视为 Sub(Γ) 上的共轭不变博雷尔概率测度。
• 在 Γ 上构造一个非离散群拓扑，使得 μ-几乎必然每个子群均为开子群。
• 利用投影动力系统及高度逼近元素的存在性，构建群的良好覆盖。
• 应用 Poincaré 递归估计与独立性论证，控制子群的测度行为。
• 通过用递增的有限生成子群序列逼近 Γ，将一般情形约化至有限生成情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有简单、无中心的 Zariski 闭包的可数非阿贝尔线性群中，非平凡不变随机子群的结构是什么？
• RQ2 自由子群 F ⊂ Γ 是否能在测度意义下在非平凡 IRS μ 的支撑上实现传递作用？
• RQ3 IRS 在线性群上在多大程度上支撑于开子群或可解子群上？
• RQ4 可解根 A(Γ) 如何控制 Γ 上可解 IRS 的支撑？
• RQ5 IRS 结构能否通过 Γ 上的非离散群拓扑来理解？

主要发现

• 对于每个非平凡 IRS μ ∈ IRS⁰(Γ)，μ-几乎必然每个子群 Δ ≤ Γ 在 Γ 中为开子群。
• 存在一个自由子群 F < Γ，使得对所有 Δ ∈ Sub(Γ)，有 F·Δ = Γ 成立，且该式在 μ-几乎必然意义下成立。
• 对 μ-几乎必然每个 Δ ∈ Sub(Γ)，交集 F ∩ Δ 为无限生成。
• 映射 Δ ↦ Δ ∩ F 是概率空间 (Sub(Γ), μ) 与 (Sub(F), Φ*μ) 之间关于 F-不变性的同构。
• 若 μ ∈ IRS(Γ) 支撑于可解子群上，则其支撑于 Sub(A)，其中 A 是 Γ 的可解根。
• 特别地，若 A(Γ) = ⟨e⟩，则几乎必然有 Δ = ⟨e⟩，因此不存在非平凡可解 IRS。