[论文解读] Invariant random subgroups of the lamplighter group

Lewis Bowen, Rostislav Grigorchuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用 17

一句话总结

本文研究了半直积群 $\mathcal{L}_{n,p} = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n \wr \mathbb{Z}$ 中的不变随机子群（IRS），确定了子群空间 $\mathrm{Sub}(G)$ 的康托尔-本迪克斯通秩与完美核。研究发现，$\mathrm{Sub}(G)$ 上的共轭不变Borel概率测度空间构成一个单纯形，且具有一个典范的Poulsen子单纯形；此外，对于有限群 $F$ 与无 $T$ 性质的无限群 $\Gamma$，在 $F\wr\Gamma$ 上且支撑于 $\bigoplus_\Gamma F$ 的IRS测度也构成Poulsen单纯形。

ABSTRACT

Let $G$ be one of the lamplighter groups $({\mathbb{Z}/p\bz})^n\wr\mathbb{Z}$ and $\Sub(G)$ the space of all subgroups of $G$. We determine the perfect kernel and Cantor-Bendixson rank of $\Sub(G)$. The space of all conjugation-invariant Borel probability measures on $\Sub(G)$ is a simplex. We show that this simplex has a canonical Poulsen subsimplex whose complement has only a countable number of extreme points. If $F$ is a finite group and $Γ$ an infinite group which does not have property $(T)$ then the conjugation-invariant probability measures on $\Sub(F\wrΓ)$ supported on $\oplus_ΓF$ also form a Poulsen simplex.

研究动机与目标

• 对灯工群 $\mathcal{L}_{n,p} = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n \wr \mathbb{Z}$ 中不变随机子群（IRS）的结构进行分类。
• 确定群 $G$ 的所有子群空间 $\mathrm{Sub}(G)$ 的康托尔-本迪克斯通秩与完美核。
• 分析 $\mathrm{Sub}(G)$ 上共轭不变Borel概率测度空间的拓扑与测度论结构。
• 证明该空间构成一个单纯形，并具有一个典范的Poulsen子单纯形，同时刻画其补集的极端点。
• 将上述结果推广至有限群 $F$ 与无 $T$ 性质的无限群 $\Gamma$ 的半直积 $F\wr\Gamma$。

提出的方法

• 作者利用 $\{0,1\}^G$ 上的Tychonoff拓扑诱导出的 $\mathrm{Sub}(G)$ 拓扑，将子群与其特征函数一一对应。
• 分析 $G$ 在 $\mathrm{Sub}(G)$ 上的共轭作用，研究在弱*-拓扑下 $\mathrm{IRS}(G)$ —— 共轭不变Borel概率测度空间的结构。
• 对 $\mathrm{Sub}(G)$ 迭代应用康托尔-本迪克斯通导出，以计算其秩并提取完美核 $\mathcal{K}(G)$。
• 构造一个从空间 $\mathcal{Z}$（三元组 $(t, r)$ 的集合）到 $\mathrm{Sub}(G)$ 的映射 $\Phi$，通过不变量 $t_{V}$ 与 $r_{V}$ 编码子群信息。
• 分析 $\mathcal{Z}$ 中的收敛性，证明 $\Phi$ 保持极限，并允许构造收敛于给定子群的子群序列。
• 利用关于 $\mathbb{Z}[x]/(x^t - 1)$ 模上子群增长与秩的引理，构造具有所需不变量与收敛行为的子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于灯工群 $\mathrm{Sub}(\mathcal{L}_{n,p})$，其康托尔-本迪克斯通秩为何？
• RQ2 对于 $G = \mathcal{L}_{n,p}$，$\mathrm{Sub}(G)$ 中的完美核 $\mathcal{K}(G)$ 的结构如何？
• RQ3 在 $\mathrm{Sub}(G)$ 上的共轭不变测度空间是否构成Poulsen单纯形？其极端点的性质为何？
• RQ4 当 $F$ 有限且 $\Gamma$ 无限且无 $T$ 性质时，$\mathrm{IRS}(F\wr\Gamma)$ 的结构如何？
• RQ5 子群在 $\mathrm{Sub}(G)$ 中的收敛性能否通过不变量 $t_V$ 与 $r_V$ 来刻画？

主要发现

• 子群空间 $\mathrm{Sub}(\mathcal{L}_{n,p})$ 的康托尔-本迪克斯通秩为有限且可显式确定，其完美核 $\mathcal{K}(G)$ 为不可数集，且与康托尔集同胚。
• $\mathrm{IRS}(G)$ —— $\mathrm{Sub}(G)$ 上共轭不变测度的空间构成一个单纯形，且包含一个典范的Poulsen子单纯形，其补集仅有可数个极端点。
• 当 $F$ 有限且 $\Gamma$ 无限且无 $T$ 性质时，$F\wr\Gamma$ 上支撑于 $\bigoplus_\Gamma F$ 的IRS测度空间构成一个Poulsen单纯形。
• $\Phi: \mathcal{Z} \to \mathrm{Sub}(G)$ 是连续且从 $\mathcal{Z}$ 到完美核的满射，从而可构造收敛于给定子群的子群序列。
• 子群 $V_m \to V$ 在 $\mathrm{Sub}(G)$ 中的收敛性可由不变量 $t_{V_m} \to t_V$ 与 $r_{V_m} \to r_V$ 来刻画；若非稳定化，则有严格不等式 $t_{V_m} r_{V_m} < t_V r_V$。
• 通过在 $R^n$ 中的模理论构造，证明了对任意 $t_{V_m} = t'$ 与 $r_{V_m} = r'$，只要满足 $t'r' < tr$，就存在子群 $V_m$ 收敛于 $V$。