[论文解读] Inverse scattering transform and soliton solutions for the modified matrix Korteweg-de Vries equation with nonzero boundary conditions

Jin‐Jie Yang, Shou‐Fu Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 43被引用 10

一句话总结

本文通过广义黎曼-希尔伯特问题，为具有非零边界条件（NZBCs）的修正矩阵Korteweg-de Vries（mmKdV）方程发展了反散射变换。建立了 $2m\times2m$ Lax 对的直接与反散射框架，推导了无反射势的重构公式，并给出了标量和对称 $2\times2$ 矩阵情形下一阶和二阶孤子解的显式表达式，揭示了在NZBCs下孤子的渐近相位移与动力学行为。

ABSTRACT

The theory of inverse scattering is developed to study the initial-value problem for the modified matrix Korteweg-de Vries (mmKdV) equation with the $2m imes2m$ $(m\geq 1)$ Lax pairs under the nonzero boundary conditions at infinity. In the direct problem, by introducing a suitable uniform transformation we establish the proper complex $z$-plane in order to discuss the Jost eigenfunctions, scattering matrix and their analyticity and symmetry of the equation. Moreover the asymptotic behavior of the Jost functions and scattering matrix needed in the inverse problem are analyzed via Wentzel-Kramers-Brillouin expansion. In the inverse problem, the generalized Riemann-Hilbert problem of the mmKdV equation is first established by using the analyticity of the modified eigenfunctions and scattering coefficients. The reconstruction formula of potential function with reflection-less case is derived by solving this Riemann-Hilbert problem and using the scattering data. In addition the dynamic behavior of the solutions for the focusing mmKdV equation including one- and two- soliton solutions are presented in detail under the the condition that the potential is scalar and the $2 imes2$ symmetric matrix. Finally, we provide some detailed proofs and weak version of trace formulas to show that the asymptotic phase of the potential and the scattering data.

研究动机与目标

• 为具有非零边界条件（NZBCs）的修正矩阵Korteweg-de Vries（mmKdV）方程发展反散射变换。
• 通过Jost函数、散射矩阵及其在统一复数 $z$-平面上的解析性，建立直接散射问题。
• 制定广义黎曼-希尔伯特问题以实现反散射，从而实现从散射数据重构势函数。
• 推导标量和对称 $2\times2$ 矩阵势下聚焦mmKdV方程的一阶和二阶孤子解的显式表达式。
• 分析解的渐近行为，特别是当 $x \to -\infty$ 时势与边界值之间的相位差。

提出的方法

• 引入统一坐标变换以定义复数 $z$-平面，用于分析NZBCs下Jost特征函数和散射数据。
• 应用Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）展开，推导Jost函数和散射矩阵的渐近行为。
• 在三种不同对称性下建立散射矩阵和特征函数的对称关系，保持NZBCs下的结构不变。
• 利用修正特征函数和散射系数的解析性与跳跃条件，制定广义黎曼-希尔伯特问题。
• 求解黎曼-希尔伯特问题以在无反射情况下重构势函数，从而得到显式的孤子解。
• 利用迹公式和留数条件，将势的渐近相位与散射数据及范数常数关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将反散射变换扩展至 $2m\times2m$ 矩阵势的具有非零边界条件的mmKdV方程？
• RQ2 在复数 $z$-平面上，Jost特征函数和散射矩阵在NZBCs下的解析性与对称性为何？
• RQ3 广义黎曼-希尔伯特问题如何在无反射情况下实现从散射数据重构势函数？
• RQ4 当 $x \to -\infty$ 时，势与边界条件之间的渐近相位关系为何？
• RQ5 在一阶和二阶孤子解中，标量和对称 $2\times2$ 矩阵势在NZBCs下的动态行为如何？

主要发现

• 成功为具有NZBCs的mmKdV方程制定了广义黎曼-希尔伯特问题，实现了对 $2m\times2m$ 矩阵势的反散射分析。
• 在无反射情况下，通过黎曼-希尔伯特问题重构势函数，得到了标量和对称 $2\times2$ 矩阵形式下一阶和二阶孤子解的显式表达式。
• 在标量聚焦情形下，一阶孤子解在 $x \to -\infty$ 时渐近趋于 $Q(x,t) \sim e^{-4i\tau}k_0$，其中 $\tau$ 为离散特征值的相位。
• 在 $2\times2$ 对称矩阵情形下，当 $\det C_1 = 0$ 时，一阶孤子解表现出由 $\Delta_1^{-}$ 控制的相位移，其渐近行为涉及范数常数矩阵的迹与余子式项。
• 证明了势的渐近相位与散射数据通过弱迹公式相关联，证实了势演化与散射系数之间的一致性。
• 通过 $X_1 = \Upsilon_1 \Gamma_1^{-1}$ 和 $X_2 = \Upsilon_2 \Gamma_2^{-1}$ 的渐近分析，解析地确认了孤子的动力行为，包括相位移和扰动的指数衰减。