[论文解读] Inverse scattering transform for the nonlocal nonlinear Schrödinger equation with nonzero boundary conditions

Mark J. Ablowitz, Xu‐Dan Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用 5

一句话总结

本论文针对空间无穷远处具有非零边界条件（NZBCs）的非局部非线性薛定谔方程，利用统一变量中的左右黎曼-希尔伯特问题，发展了反散射变换（IST）。它推导出四种情况中三种的显式1-孤子和2-孤子解，第四种情况下无孤子解，并建立了平面波解的调制不稳定性判据。

ABSTRACT

In 2013 a new nonlocal symmetry reduction of the well-known AKNS scattering problem was found; it was shown to give rise to a new nonlocal $PT$ symmetric and integrable Hamiltonian nonlinear Schrödinger (NLS) equation. Subsequently, the inverse scattering transform was constructed for the case of rapidly decaying initial data and a family of spatially localized, time periodic one soliton solution were found. In this paper, the inverse scattering transform for the nonlocal NLS equation with nonzero boundary conditions at infinity is presented in the four cases when the data at infinity have constant amplitudes. The direct and inverse scattering problems are analyzed. Specifically, the direct problem is formulated, the analytic properties of the eigenfunctions and scattering data and their symmetries are obtained. The inverse scattering problem is developed via a left-right Riemann-Hilbert problem in terms of a suitable uniformization variable and the time dependence of the scattering data is obtained. This leads to a method to linearize/solve the Cauchy problem. Pure soliton solutions are discussed and explicit 1-soliton solution and two 2-soliton solutions are provided for three of the four different cases corresponding to two different signs of nonlinearity and two different values of the phase difference between plus and minus infinity. In the one other case there are no solitons.

研究动机与目标

• 将反散射变换扩展至空间无穷远处具有非零边界条件的非局部非线性薛定谔方程。
• 根据非线性符号（$\sigma = \pm 1$）与边界值之间相位差（$\Delta\theta = \theta_+ - \theta_-$）对解进行分类。
• 利用统一变量中的左右黎曼-希尔伯特公式，构建直接与反散射问题。
• 基于四种不同情形，推导显式纯孤子解，并分析其存在性与动力学特性。
• 研究在不同边界相位与非线性条件下，恒定振幅平面波解的调制不稳定性。

提出的方法

• 针对具有NZBCs的非局部NLS方程，制定直接散射问题，分析特征函数与散射数据的解析性质与对称性。
• 引入统一变量，将黎曼-希尔伯特问题映射到单个复平面，实现对左右散射数据的统一处理。
• 发展左右黎曼-希尔伯特问题以求解反散射问题，整合来自$PT$-对称结构的对称性。
• 推导散射数据的时间演化，从而线性化非局部NLS方程的柯西问题。
• 利用反散射框架，为四种情形中的三种组合构造显式1-孤子与2-孤子解。
• 通过摄动展开进行线性稳定性分析，研究恒定振幅解的调制不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边界条件为非零而非衰减时，非局部NLS方程的反散射变换有何不同？
• RQ2 在NZBC条件下，特征函数与散射数据的解析性质与对称性为何？
• RQ3 如何利用统一变量制定并求解左右黎曼-希尔伯特问题，以处理非局部结构？
• RQ4 在何种条件下存在纯孤子解，其动力学特性如何？
• RQ5 在非局部NLS框架中，恒定振幅平面波解的调制稳定性或不稳定性由何决定？

主要发现

• 当$\sigma = -1$且$\Delta\theta = \pi$时，存在1-孤子解，对应于静止的、时间周期性孤子。
• 当$\sigma = -1$且$\Delta\theta = 0$时，存在2-孤子解，描述一种静止的、振荡的双孤子态。
• 当$\sigma = 1$且$\Delta\theta = 0$时，发现一种行进的、双向传播的双孤子解，孤子以非平凡方式相互作用。
• 当$\sigma = 1$且$\Delta\theta = \pi$时，无孤子解，由散射数据中不存在离散本征求解得到验证。
• 调制不稳定性分析表明，对于$\sigma = -1$，$\Delta\theta = 0$的平面波具有不稳定性（存在两个虚数本征值），而对于$\sigma = +1$则稳定。
• 当$\Delta\theta = \pi$时，恒定振幅解对$\sigma = \pm 1$均具有调制稳定性，因不稳定性谱位于复平面且无增长模态。