[论文解读] Investigations on c-(almost) perfect nonlinear functions

Constanza Riera, Pantelimon Stănică|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 30被引用 10

一句话总结

本文研究了 $p$-元函数与布尔函数的 $c$-微分均匀性，特别关注在一种新的乘法微分概念下已知的几乎完美非线性（APN）函数。结果表明，若干 APN 函数（包括 Gold 函数及某些 $p$-元函数）在特定 $c$ 值下表现出显著降低的 $c$-微分均匀性，揭示了当 $c \neq 1$ 时，其中一些函数为完美 $c$-非线性（PcN）或几乎完美 $c$-非线性（APcN），尤其是在 $c = -1$ 且 $n$ 为奇数时。

ABSTRACT

In a prior paper [14], along with P. Ellingsen, P. Felke and A. Tkachenko, we defined a new (output) multiplicative differential, and the corresponding c-differential uniformity, which has the potential of extending differential cryptanalysis. Here, we continue the work, by looking at some APN functions through the mentioned concept and show that their c-differential uniformity increases significantly, in some cases.

研究动机与目标

• 使用新定义的乘法微分，分析已知 APN 函数的 $c$-微分均匀性。
• 确定 $c$-微分均匀性相较于标准微分均匀性显著降低的条件。
• 识别在奇特征有限域中 $c$-完美非线性（PcN）和 $c$-几乎完美非线性（APcN）函数，特别是 $c = -1$ 的情形。
• 通过引入 $c$-导数的乘法平移，将微分密码分析的概念推广，以扩展其适用性。
• 探索 $c$-微分在识别标准定义之外的新 PN 或 APN 函数类方面的潜力。

提出的方法

• 将函数 $F$ 的 $c$-导数定义为 ${}_{c}D_{a}F(x) = F(x+a) - cF(x)$，推广标准导数概念。
• 将 $c$-微分均匀性定义为 ${}_{c}\Delta_{F} = \max\{ {}_{c}\Delta_{F}(a,b) \}$，其中 ${}_{c}\Delta_{F}(a,b)$ 表示方程 $F(x+a) - cF(x) = b$ 的解的个数。
• 利用切比雪夫多项式及其原像基数分析 $c$-微分性质，尤其针对 $p=3$ 和 $n$ 维域的情况。
• 应用数论工具，如指数的最大公因数与迹函数，以确定 $c$-导数的置换性质。
• 采用文献 [9] 中的定理 9，计算在不同 $c$ 和 $n$ 条件下切比雪夫多项式的原像大小。
• 分析 $\mathbb{F}_{3^n}$ 上的函数 $G(x) = x^{(3^n+3)/2}$，证明当 $n$ 为奇数时，其在 $c=-1$ 下为 PcN，当 $n$ 为偶数时为 APcN。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上，Gold 函数 $x^{(p^k+1)/2}$ 在何种 $c$ 和 $n$ 条件下为完美 $c$-非线性？
• RQ2 对于已知的 APN 函数，当 $c \neq 1$ 时（尤其是 $c = -1$），其 $c$-微分均匀性是否显著低于标准微分均匀性？
• RQ3 在 $\mathbb{F}_{3^n}$ 上，函数 $G(x) = x^{(3^n+3)/2}$ 是否可被归类为 $c$-完美或 $c$-几乎完美非线性（$c = -1$）？
• RQ4 $c$-微分均匀性与 $p$-元函数的代数次数或迹结构之间存在何种关系？
• RQ5 在奇特征域中，$p$-元函数的 $c$-微分均匀性与标准微分均匀性相比如何？

主要发现

• 在 $\mathbb{F}_{3^n}$ 上，函数 $x^{(3^n+3)/2}$ 当且仅当 $n$ 为奇数时，是 $c = -1$ 下的完美 $c$-非线性（PcN）函数。
• 当 $n$ 为偶数时，同一函数在 $c = -1$ 下为几乎完美 $c$-非线性（APcN），其 $c$-微分均匀性为 $\ell = 2$。
• 当 $c = 1$ 时，$G(x) = x^{(3^n+3)/2}$ 的 $c$-微分均匀性为：若 $n$ 为偶数则为 1，若 $n$ 为奇数则为 4，与 $c = -1$ 情况形成鲜明对比。
• 对于 Gold 函数 $x^{(p^k+1)/2}$，其在 $c = -1$ 下为 PcN 当且仅当 $\frac{2n}{\gcd(2n,k)}$ 为奇数。
• 通过分析切比雪夫多项式的原像大小，确定了 $G(x)$ 的 $c$-微分均匀性，当 $n$ 为偶数时，$m = \gcd(\frac{3^n+3}{2}, 3^n - 1) = 2$ 且 $\bar{\ell} = \gcd(\frac{3^n+3}{2}, 3^n + 1) = 2$。
• 当 $c = -1$ 且 $n$ 为奇数时，函数 $G(x)$ 为 PcN，因为其对应的切比雪夫多项式 $h_{-1}(z)$ 是置换多项式，该结论由指数与域大小的最大公因数条件所证实。