[论文解读] Isometric Embeddings in Trees and Their Use in Distance Problems

Guillaume Ducoffe|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 50被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种在 clique-width 至多为 k 的 n 个顶点 m 条边的图中计算直径、Wiener 指数和中位点集的 O(2^O(k)(n + m)^{1+o(1)}) 时间算法，该算法在 SETH 下满足条件下的下界。它利用了一种新颖的距离标签方案，每个顶点使用 O(k log²n) 位，并在 O(k(n + m) log n) 时间内构建该方案，从而实现 O(kn² log n) 时间的全源最短路径解法，解决了关于有界 clique-width 图中距离问题参数化算法的一个开放问题。

ABSTRACT

Coudert et al. (SODA'18) proved that under the Strong Exponential-Time Hypothesis, for any $ε>0$, there is no ${\cal O}(2^{o(k)}n^{2-ε})$-time algorithm for computing the diameter within the $n$-vertex cubic graphs of clique-width at most $k$. We present an algorithm which given an $n$-vertex $m$-edge graph $G$ and a $k$-expression, computes all the eccentricities in ${\cal O}(2^{{\cal O}(k)}(n+m)^{1+o(1)})$ time, thus matching their conditional lower bound. It can be modified in order to compute the Wiener index and the median set of $G$ within the same amount of time. On our way, we get a distance-labeling scheme for $n$-vertex $m$-edge graphs of clique-width at most $k$, using ${\cal O}(k\log^2{n})$ bits per vertex and constructible in ${\cal O}(k(n+m)\log{n})$ time from a given $k$-expression. Doing so, we match the label size obtained by Courcelle and Vanicat (DAM 2016), while we considerably improve the dependency on $k$ in their scheme. As a corollary, we get an ${\cal O}(kn^2\log{n})$-time algorithm for computing All-Pairs Shortest-Paths on $n$-vertex graphs of clique-width at most $k$. This partially answers an open question of Kratsch and Nelles (STACS'20).

研究动机与目标

• 为闭合有界 clique-width 图中直径计算的条件性下界与已知算法之间的差距。
• 为有界 clique-width 图设计一种改进 k 依赖关系的距离标签方案，相比之前的工作。
• 为有界 clique-width 图中的距离问题提供一种准线性时间参数化算法，与基于 SETH 的下界相匹配。
• 回答关于有界 clique-width 图中全源最短路径参数化复杂性的开放问题。

提出的方法

• 基于树分解和 k-表达式设计递归算法，以高效计算偏心率。
• 使用一种新颖的距离标签方案，为每个顶点分配 O(k log²n) 位，从 k-表达式在 O(k(n + m) log n) 时间内构建。
• 应用正交范围查询框架，以计算有界 clique-width 图中的全源距离。
• 证明该标签方案支持高效的距离查询，并可实现 Wiener 指数和中位点集的计算。
• 通过利用相同的标签和分解结构，将算法扩展以计算 Wiener 指数和中位点集。
• 通过图的递归分解进行归纳，以维护 k-模组并确保标签和距离计算的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出一种 O(2^O(k)(n + m)^{1+o(1)}) 时间算法，用于计算 clique-width 至多为 k 的图的直径，使其与基于 SETH 的下界相匹配？
• RQ2 能否为有界 clique-width 图构建一种距离标签方案，使得每个顶点使用 O(k log²n) 位，且对 k 的依赖关系为次指数级？
• RQ3 所提出的框架是否能实现 O(kn² log n) 时间内对有界 clique-width 图的全源最短路径算法？
• RQ4 能否将相同技术扩展到在相同时间复杂度内计算 Wiener 指数和中位点集？
• RQ5 是否可能实现一种真正亚二次的参数化算法，用于有界 clique-width 图中的距离问题，且对 clique-width 的依赖关系为单指数级？

主要发现

• 该论文首次提出一种算法，其时间复杂度 O(2^O(k)(n + m)^{1+o(1)}) 与 Coudert 等人针对有界 clique-width 图中直径计算的基于 SETH 的条件性下界完全匹配。
• 构建了一种使用 O(k log²n) 位每顶点的距离标签方案，相比 Courcelle 和 Vanicat 的方案在 k 的依赖关系上有所改进，同时保持了相同的标签大小。
• 该算法以与直径计算相同的时间复杂度计算 Wiener 指数和中位点集，展示了其在距离不变量上的广泛应用性。
• 获得了在 n 个顶点、clique-width 至多为 k 的图上，全源最短路径的 O(kn² log n) 时间算法，部分解决了 Kratsch 和 Nelles 提出的开放问题。
• 该算法的递归结构确保总运行时间保持在 O(2^O(k)(n + m)^{1+o(1)}) 内，通过在递归层级上对子问题的总和进行控制，利用节点数量的 (2/3)^r 衰减。
• 通过在递归分解上进行归纳，确立了算法的正确性，依赖于 k-模组和树表示中最近公共祖先的性质。