[论文解读] Isomorphism problems for tensors, groups, and cubic forms: completeness and reductions

Joshua A. Grochow, Youming Qiao|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 73被引用 8

一句话总结

该论文建立了张量、p-群、三次型和代数之间同构问题的全面等价性，表明它们均可多项式时间相互归约——形成一个新的复杂性类，称为TI-完全。此外，论文证明了当d ≥ 3时，d-张量同构可归约为3-张量同构，并为指数为p且类为2的p-群提供了新颖的搜索-决策归约，其核心是图着色构造的线性代数类比。

ABSTRACT

In this paper we consider the problems of testing isomorphism of tensors, $p$-groups, cubic forms, algebras, and more, which arise from a variety of areas, including machine learning, group theory, and cryptography. These problems can all be cast as orbit problems on multi-way arrays under different group actions. Our first two main results are: 1. All the aforementioned isomorphism problems are equivalent under polynomial-time reductions, in conjunction with the recent results of Futorny-Grochow-Sergeichuk (Lin. Alg. Appl., 2019). 2. Isomorphism of $d$-tensors reduces to isomorphism of 3-tensors, for any $d \geq 3$. Our results suggest that these isomorphism problems form a rich and robust equivalence class, which we call Tensor Isomorphism-complete, or TI-complete. We then leverage the techniques used in the above results to prove two first-of-their-kind results for Group Isomorphism (GpI): 3. We give a reduction from GpI for $p$-groups of exponent $p$ and small class ($c < p$) to GpI for $p$-groups of exponent $p$ and class 2. The latter are widely believed to be the hardest cases of GpI, but as far as we know, this is the first reduction from any more general class of groups to this class. 4. We give a search-to-decision reduction for isomorphism of $p$-groups of exponent $p$ and class 2 in time $|G|^{O(\log \log |G|)}$. While search-to-decision reductions for Graph Isomorphism (GI) have been known for more than 40 years, as far as we know this is the first non-trivial search-to-decision reduction in the context of GpI. Our main technique for (1), (3), and (4) is a linear-algebraic analogue of the classical graph coloring gadget, which was used to obtain the search-to-decision reduction for GI. This gadget construction may be of independent interest and utility. The technique for (2) gives a method for encoding an arbitrary tensor into an algebra.

研究动机与目标

• 将代数、群论和张量理论中的各类同构问题统一于一个共同的复杂性框架下。
• 建立d-张量、p-群、任意域上的三次型和代数之间同构问题的多项式时间归约关系。
• 证明当d ≥ 3时，d-张量同构可归约为3-张量同构。
• 为指数为p且类为2的p-群同构问题开发新的搜索-决策归约。
• 引入图着色构造的线性代数类比，用于统一各类同构问题的归约。

提出的方法

• 作者利用多维数组（张量）上的群作用，对代数、三次型和群等代数结构的同构问题进行建模。
• 他们构建了一个受经典图着色构造启发的线性代数工具，实现了在张量同构与群同构背景下同构问题之间的归约。
• 从d-张量同构到3-张量同构的归约依赖于通过代数构造将高阶张量编码为3-张量，同时保持同构不变量。
• 对于指数为p且类小于p的p-群，他们通过一种新颖的变换将同构测试归约为类2情形，该变换保持群结构与同构类型。
• 他们以时间复杂度|G|O(log log |G|)实现了指数为p且类为2的p-群同构问题的搜索-决策归约，利用新工具技术通过决策查询模拟搜索过程。
• 证明技术依赖于GL(n, F)中的稳定子计算以及齐次多项式（特别是三次型）的因式分解模式分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量、p-群、三次型和代数的同构问题是否均为多项式时间等价？
• RQ2 d-张量（d ≥ 3）的同构问题能否归约为3-张量同构问题？
• RQ3 是否存在针对指数为p且类为2的p-群同构问题的搜索-决策归约？
• RQ4 指数为p且类小于p的p-群同构问题能否归约为类2情形？
• RQ5 能否使用图着色构造的线性代数类比来统一各类同构问题的归约？

主要发现

• 张量、p-群、三次型、代数及相关结构的同构问题均为多项式时间等价，形成一个新的复杂性类，称为TI-完全。
• 在任意域上，当d ≥ 3时，d-张量同构可归约为3-张量同构。
• 指数为p且类小于p的p-群同构问题可归约为指数为p且类为2的p-群同构问题，该结果此前未知，且被认为是最困难的情形。
• 首次实现了指数为p且类为2的p-群同构问题的搜索-决策归约，时间复杂度为|G|O(log log |G|)，为该领域首个非平凡的此类归约。
• 归约技术依赖于一种线性代数工具构造，该构造推广了经典图着色工具，使代数同构问题中实现新归约成为可能。
• 通过稳定子分析与齐次多项式（特别是任意域上的三次型）的因式分解性质，建立了同构问题之间的等价性。