[论文解读] Isoperimetric functions for subdirect products and Bestvina-Brady groups

Will Dison|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 14

一句话总结

本文通过分析面积-半径对和群表示，建立了极限群与Bestvina-Brady群的子直积的多项式等周不等式。证明了在特定有限指数和投影条件下，此类子群是有限表示的，并具有多项式Dehn函数，特别地，Bestvina-Brady群被证明具有四次等周函数。

ABSTRACT

In this thesis we investigate the Dehn functions of two different classes of groups: subdirect products, in particular subdirect products of limit groups; and Bestvina-Brady groups. Let D = Γ_1 imes ... imes Γ_n be a direct product of n \geq 3 finitely presented groups and let H be a subgroup of D. Suppose that each Γ_i contains a finite index subgroup Γ_i' \leq Γ_i such that the commutator subgroup [D', D'] of D' = Γ_1' imes ... imes Γ_n' is contained in H. Suppose furthermore that, for each i, the subgroup Γ_i H has finite index in D. We prove that H is finitely presented and satisfies an isoperimetric inequality given in terms of area-radius pairs for the Γ_i and the dimension of (D'/H) \otimes \Q. In the case that each Γ_i admits a polynomial-polynomial area-radius pair, it will follow that H satisfies a polynomial isoperimetric inequality. As a corollary we obtain that if K is a subgroup of a direct product of n limit groups and if K is of type FP_m(\Q), where m = \max {2, n-1}, then K is finitely presented and satisfies a polynomial isoperimetric inequality. In particular, we obtain that all finitely presented subgroups of a direct product of at most 3 limit groups satisfy a polynomial isoperimetric inequality. We also prove that if B is a finitely presented Bestvina-Brady group, then B admits a quartic isoperimetric function.

研究动机与目标

• 确定极限群与Bestvina-Brady群的子直积的等周行为。
• 建立此类子群为有限表示且满足多项式等周不等式的条件。
• 分析Bestvina-Brady群的Dehn函数，并证明其为四次函数。
• 通过FPm(Q)条件推广关于极限群直积的有限表示子群的结果。
• 提供一种通过面积-半径对和组合零伦同伦来界定Dehn函数的框架。

提出的方法

• 使用面积-半径对来界定有限表示群的Dehn函数。
• 应用有界噪声引理和有限指数子群技术来控制扭曲度和面积增长。
• 采用组合零伦同伦和$φ_n$-映射，为群表示中的字构造零伦同伦。
• 将问题简化为分析来自直积和子群的表示中字的面积。
• 使用$φ_n$-映射构造，将目标群中的字与基群中的字相关联，并控制面积代价。
• 应用填充定理和右-angled Artin群的CAT(0)性质，推导出面积上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个直积中$n \geq 3$个有限表示群的子群满足什么条件时，其为有限表示且满足多项式等周不等式？
• RQ2 Bestvina-Brady群的Dehn函数是什么？它是否具有多项式等周函数？
• RQ3 能否使用面积-半径对和上同调维数来界定极限群子直积的等周函数？
• RQ4 $(D'/H) \otimes \mathbb{Q}$的维数如何影响$H$的等周函数？
• RQ5 FPm(Q)条件与极限群直积的子群的有限表示性和等周行为之间有何关系？

主要发现

• 若$H$是$n \geq 3$个有限表示群的直积的子群，且其投影为有限指数，并包含某个有限指数子群的换位子群，则$H$为有限表示，并满足基于面积-半径对和$(D'/H) \otimes \mathbb{Q}$维数的等周不等式。
• 若每个因子群都具有多项式-多项式面积-半径对，则$H$满足多项式等周不等式。
• 任意三个极限群直积的有限表示子群均满足多项式等周不等式。
• 若$K$是$n$个极限群直积的子群，且为$\mathrm{FP}_m(\mathbb{Q})$型，其中$m = \max\{2, n-1\}$，则$K$为有限表示且满足多项式等周不等式。
• 有限表示的Bestvina-Brady群具有四次等周函数，即其Dehn函数被上界为$l^4$。
• 表示$\mathcal{P}_H^\infty$的相对面积函数满足$\mathrm{RArea}_H(l) \preceq l^2$，通过面积-半径对复合导出四次Dehn函数。