[论文解读] Iterated integrals of superconnections

Kiyoshi Igusa|ArXiv.org|Dec 1, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 23

一句话总结

本文证明了，当且仅当超联络为平坦时，其在光滑单体上的陈氏迭代积分会生成一个 $A_{∞}$函子。该构造推广了陈氏关于微分扭化胞复形的理论，关键洞见在于变量微分 $A_0$——即平坦超联络的零次部分——在高阶雷德迈斯特 torsion 的应用中至关重要，因为 torsion 不变量中的高阶项由于其多项式与多对数结构而可忽略。

ABSTRACT

Starting with a Z-graded superconnection on a graded vector bundle over a smooth manifold M, we show how Chen's iterated integration of such a superconnection over smooth simplices in M gives an A-infinity functor if and only if the superconnection is flat. If the graded bundle is trivial, this gives a twisting cochain. Very similar results were obtained by K.T. Chen using similar methods. This paper is intended to explain this from scratch beginning with the definition and basic properties of a connection and ending with an exposition of Chen's "formal connections" and a brief discussion of how this is related to higher Reidemeister torsion.

研究动机与目标

• 通过陈氏迭代积分，建立平坦 ${\mathbb{Z}}$-分次超联络与 $A_{\infty}$ 函子之间的精确对应关系。
• 阐明超联络中变量微分 $A_0$ 的作用，表明其对高阶雷德迈斯特 torsion 应用至关重要。
• 证明超联络中的高阶项 $A_1, A_2, \dots$ 在 torsion 公式中可被忽略，原因在于其与多对数项的线性无关性及多项式依赖性。
• 在包含可变边界映射的基础上，调和并扩展 K.T. 陈关于微分扭化胞复形的早期工作，阐明构造的几何与同伦结构。

提出的方法

• 利用陈氏迭代积分方法，本文在路径空间 $\mathrm{P}M$ 上构造了一组形式 $\Psi_p$，其满足涉及超联络分量 $A_i$ 的微分方程，其中 $A_0$ 充当变量微分。
• 该构造依赖于沿路径求解一阶常微分方程，使用积分因子，其中超联络分量通过 $A_k/t = \iota_{\gamma'} \mathrm{ev}_t^* A_k$ 与路径的切向量相缩并。
• 本文证明，平行传输 $\Psi_k$ 构成一个满足高阶同伦关系的上链映射，当且仅当超联络是平坦的，即 $D^2 = 0$，其中 $D = d - \sum A_i$。
• 通过在单体上积分平行传输，该方法构造了一个从 $M$ 的奇异链复形的 cobar 构造到自同态代数 $\mathrm{End}(V_\ast)$ 的链映射，从而得到一个 $A_{\infty}$ 函子。
• 本文表明，当丛为平凡时，所得的 $A_{\infty}$ 结构等价于一个扭化胞复形，且高阶 torsion 不变量仅依赖于 $A_0$，因为多对数主项与多项式项线性无关。
• 该构造与陈氏关于立方链与广义 holonomy 映射的原始工作进行了比较，证明了通过分段线性路径的光滑化，单体与立方构造是等价的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，陈氏对超联络的迭代积分会生成一个 $A_{\infty}$ 函子？
• RQ2 尽管在早期形式中被忽略，为何变量微分 $A_0$ 对高阶雷德迈斯特 torsion 的构造至关重要？
• RQ3 超联络中的高阶项 $A_1, A_2, \dots$ 如何影响 torsion 不变量？为何可被忽略？
• RQ4 平坦超联络与陈氏框架下微分扭化胞复形之间的确切关系为何？
• RQ5 如何理解 $M$ 的奇异链复形的 cobar 构造与由超联络诱导的 $A_{\infty}$ 结构之间的关系？

主要发现

• 只有当超联络平坦时，其迭代积分才会生成一个 $A_{\infty}$ 函子，这通过高阶同伦条件与平坦性条件 $D^2 = 0$ 的等价性得以证明。
• 该 $A_{\infty}$ 函子的构造源于满足链映射与同伦层次结构的平行传输，其中边界条件 $d\Psi_k - \Psi_k d = d\Psi_{k-1}$ 等价于超联络的平坦性。
• 当分次向量丛为平凡时，该构造生成一个扭化胞复形，从而推广了陈氏关于微分扭化胞复形的理论。
• 在度数 $2k$ 的高阶雷德迈斯特 torsion 不变量中，仅依赖于 $A_0$，因为涉及 $A_1, A_2, \dots$ 的校正项为多项式，且与多对数主项线性无关。
• 本文确认，陈氏关于立方链上广义 holonomy 映射的原始工作与本文提出的单体构造等价，路径的光滑化无关紧要，因为其在重参数化下保持不变。
• 奇异链复形的 cobar 构造可映射到 DGA $\mathrm{End}(V_\ast)$，该映射构成一个 $A_{\infty}$ 函子，且当 $M$ 是单连通时，该映射在同调上为同构。