[论文解读] Iterating the Pimsner construction

Valentin Deaconu|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文提出了一套框架，用于计算由两个在C*-代数上满足交换关系的希尔伯特双模生成的迭代Cuntz-Pimsner代数的K-理论，该框架受Douglas-Howe与Pimsner-Voiculescu的3×3图启发。通过利用双模张量积之间的固定同构，建立了计算代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ 的K-群的正合序列，该框架在秩二图和阿贝尔C*-代数的交换自同态中具有应用。

ABSTRACT

For $A$ a $C^*$-algebra, $E_1, E_2$ two Hilbert bimodules over $A$, and a fixed isomorphism $χ: E_1\otimes_AE_2 o E_2\otimes_AE_1$, we consider the problem of computing the $K$-theory of the Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_{E_2\otimes_A{\mathcal O}_{E_1}}$ obtained by extending the scalars and by iterating the Pimsner construction. The motivating examples are a commutative diagram of Douglas and Howe for the Toeplitz operators on the quarter plane, and the Toeplitz extensions associated by Pimsner and Voiculescu to compute the $K$-theory of a crossed product. The applications are for Hilbert bimodules arising from rank two graphs and from commuting endomorphisms of abelian $C^*$-algebras.

研究动机与目标

• 计算通过在两个希尔伯特双模上迭代Pimsner构造所得到的Cuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ 的K-理论。
• 将Douglas-Howe与Pimsner-Voiculescu的图推广至迭代Cuntz-Pimsner代数的3×3正合序列框架。
• 提供将迭代代数的K-群与更简单的张量积及Toeplitz代数的K-群相关联的K-理论正合序列。
• 将该框架应用于具体情形，包括秩二图和阿贝尔C*-代数的交换自同态。
• 阐明交换同构 $\chi: E_1 \otimes_A E_2 \to E_2 \otimes_A E_1$ 在确定迭代代数结构中的作用。

提出的方法

• 通过从 $A$ 扩张标量至 ${\mathcal{O}}_{E_1}$，并再次应用Pimsner构造，构建迭代Cuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$。
• 利用固定的同构 $\chi: E_1 \otimes_A E_2 \to E_2 \otimes_A E_1$ 确保两个双模之间的相容性，并在扩展代数上定义张量积结构。
• 建立一个包含 ${\mathcal{T}}_{E_1}$、${\mathcal{O}}_{E_1}$、${\mathcal{T}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{T}}_{E_1}}$ 及其与 ${\mathcal{K}}$ 的相关张量积的C*-代数3×3交换图。
• 对3×3图的行与列应用K-理论中的六项正合序列，将迭代代数的K-群与基本构建块的K-群关联起来。
• 利用规范作用与固定点代数分析Cuntz-Pimsner代数的核心，并提取K-理论数据。
• 利用已知的Toeplitz代数与Cuntz代数的K-理论计算结果，计算特定情形下迭代构造的K-群。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $E_1$ 与 $E_2$ 是C*-代数 $A$ 上的希尔伯特双模，并存在固定的交换同构 $\chi$ 时，如何计算迭代Cuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ 的K-理论？
• RQ2 用于迭代Pimsner代数的3×3 C*-代数图的结构是什么，该图推广了Douglas-Howe与Pimsner-Voiculescu的构造？
• RQ3 从3×3图导出的K-理论正合序列如何将迭代代数的K-群与Toeplitz代数与紧算子张量积的K-群关联起来？
• RQ4 在秩二图与阿贝尔C*-代数的交换自同态情形下，${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ 的K-理论群是什么？
• RQ5 在何种条件下，同构 $\chi: E_1 \otimes_A E_2 \to E_2 \otimes_A E_1$ 会诱导不同迭代代数之间的同构，例如 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}^m \otimes {\mathcal{O}}_n} \cong {\mathcal{O}}_m \otimes {\mathcal{O}}_n$？

主要发现

• 通过C*-代数的3×3图及其关联的K-理论六项正合序列，计算了迭代Cuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ 的K-理论。
• 当 $E_1 = \mathbb{C}^m$，$E_2 = \mathbb{C}^n$，且 $\chi$ 为交换映射时，代数 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}^m \otimes {\mathcal{O}}_n}$ 同构于 ${\mathcal{O}}_m \otimes {\mathcal{O}}_n$，其K-理论为 $K_0 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$，$K_1 = 0$。
• 在阿贝尔C*-代数 $A = C(\mathbb{T})$ 上，对自同态 $\sigma_i(x) = x^{p_i}$ 且 $p_1, p_2$ 互素的情形，${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ 的K-理论嵌入正合序列，其中 $K_0$ 包含 $\mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}_{p_1-1} \oplus \mathbb{Z}_{p_2-1}$，而 $K_1$ 同构于 $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$。
• 关于 $K_0$ 的正合序列为 $K_0({\mathcal{T}}_{\alpha_1} \otimes {\mathcal{K}} + {\mathcal{K}} \otimes {\mathcal{T}}_{\alpha_2}) \to \mathbb{Z} \to K_0({\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}})$，其中映射到 $\mathbb{Z}$ 是满射。
• $K_1$ 的正合序列为 $K_1({\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}) \leftarrow \mathbb{Z} \leftarrow K_1({\mathcal{T}}_{\alpha_1} \otimes {\mathcal{K}} + {\mathcal{K}} \otimes {\mathcal{T}}_{\alpha_2})$，表明 $K_1({\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}})$ 满射于 $\mathbb{Z}$。
• 该框架可推广至 $n$-环面 $\mathbb{T}^n$ 的覆盖，将K-理论计算扩展至高阶动力系统。