[论文解读] Higher rank graph C*-algebras

Alex Kumjian, David Pask|ArXiv.org|Jul 5, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 273

一句话总结

本文将高秩图 C*-代数作为图 C*-代数的推广，通过满足分解关系和 Cuntz-Krieger 类型关系的部分等距生成的普遍 C*-代数来定义。主要贡献在于建立了高秩图 C*-代数与关联路径群胚 C*-代数之间的同构，使得群胚技术可应用于该新设定下对简单性、纯无穷性及交叉积的分析。

ABSTRACT

Building on recent work of Robertson and Steger, we associate a C*-algebra to a combinatorial object which may be thought of as a higher rank graph. This C*-algebra is shown to be isomorphic to that of the associated path groupoid. Sufficient conditions on the higher rank graph are found for the associated C*-algebra to be simple, purely infinite and AF. Results concerning the structure of crossed products by certain natural actions of discrete groups are obtained; a technique for constructing rank 2 graphs from ``commuting'' rank 1 graphs is given.

研究动机与目标

• 通过映射到 N^k 的组合范畴框架，将图 C*-代数推广至高秩图。
• 利用满足分解关系和 Cuntz-Krieger 关系的部分等距，为高秩图定义一个普遍 C*-代数。
• 建立高秩图 C*-代数与关联路径群胚的 C*-代数之间的同构。
• 通过非周期性条件和规范作用，刻画 C*-代数为简单、纯无穷或 AF 的条件。
• 从可交换的 1-图构造 2-图，并通过斜积和交叉积分析其 C*-代数。

提出的方法

• 将高秩图定义为带有度函数 d:Λ→N^k 的小范畴 Λ，推广有向图。
• 从 Λ 的无限路径空间构造路径群胚 G_Λ，类似于有向图的路径群胚。
• 证明规范不变唯一性定理：若从 C*(Λ) 到某 C*-代数的同态在规范作用下等变且在生成元上非零，则该同态是忠实的。
• 利用 Λ 中路径的非周期性条件刻画路径群胚本质上自由，从而得到类似于 Cuntz-Krieger 的唯一性定理。
• 对从 Λ 到离散群 G 的函子 c:Λ→G，构造斜积 k-图 G×_cΛ，并证明交叉积 C*(Λ)⋊_α^cĜ 同构于 C*(G×_cΛ)。
• 给出从两个 1-图 A 和 B 构造 2-图的方法，其中 A¹×B¹→B¹×A¹ 的双射 θ 定义分解规则，得到 2-图 A*θB。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，高秩图的 C*-代数是简单的？
• RQ2 在何种条件下，高秩图的 C*-代数是纯无穷的？
• RQ3 规范不变唯一性定理如何用于证明 C*(Λ) 与 C*(G_Λ) 之间的同构？
• RQ4 在群作用下，高秩图 C*-代数的交叉积结构如何？其与斜积图的关系是什么？
• RQ5 如何从两个可交换的 1-图构造 2-图？这对它们的 C*-代数有何影响？

主要发现

• 通过规范不变唯一性定理，高秩图 Λ 的 C*-代数 C*(Λ) 同构于其路径群胚 G_Λ 的群胚 C*-代数 C*(G_Λ)。
• T^k 上的规范作用由 α_t(s_λ) = t^{d(λ)} s_λ 实现，该作用的交叉积同构于 C*(Z^k ×_d Λ)，且该代数为 AF 代数。
• 若高秩图 Λ 为非周期的，则 C*(Λ) 是简单且纯无穷的，推广了 Cuntz-Krieger 代数情形下的条件。
• 若离散群 G 自由作用于 k-图 Λ，则交叉积 C*(Λ)⋊G 同构于 C*(Λ/G)⊗K(ℓ²(G))，推广了图 C*-代数的结果。
• 当两个 1-图 A 和 B 的顶点矩阵可交换，并通过双射 θ 组合时，所得 2-图 A*θB 的 C*-代数同构于 C*(A)⊗C*(B)，若 θ 为恒等映射；但若 θ 为交换映射（例如 O₂*θO₂ ≅ O₂⊗O₂ ≅ O₂，而 O₂*ιO₂ ≅ O₂⊗C(T)），则结果不同。
• 从可交换 1-图构造 2-图的方法是通用的：每个 2-图都同构于某个 A, B, θ 的 A*θB，表明该构造在同构意义下是完备的。