[论文解读] Iwasawa Main Conjecture for Supersingular Elliptic Curves and BSD conjecture

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 52被引用 31

一句话总结

该论文通过利用在 $\mathrm{U}(3,1)$ 上的Eisenstein同余关系，将超奇异椭圆曲线的Iwasawa主猜想归约为普通Iwasawa理论，并结合Beilinson-Flach元素的显式互惠律，证明了在奇素数 $p$ 且 $a_p = 0$ 的情况下该主猜想。关键结果为：对无穷多组非CM椭圆曲线及其二次扭曲线，证明了完整的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，从而填补了非普通Iwasawa理论中长期存在的空白。

ABSTRACT

In this paper we prove the $\pm$-main conjecture of Iwasawa theory formulated by Kobayashi for elliptic curves with supersingular reduction at an odd prime $p$ such that $a_p=0$, using a key new observation that it can be reduced to another Iwasawa-Greenberg main conjecture, which is more accessible and proved here as a first step. Then we develop some generalized $\pm$ local theory and deduce the main conjecture. The argument uses in an essential way the recent study on explicit reciprocity law for Beilinson-Flach elements by Kings-Loeffler-Zerbes. We also prove as corollaries the $p$-part of the BSD formula at supersingular primes when the analytic rank is $0$ or $1$. The main result enables us to present in the Appendix a number of explicit infinite families of elliptic curves without complex multiplications for which we can now prove the full Birch-Swinnerton-Dyer conjecture. No such infinite families of curves without complex multiplication were known previously.

研究动机与目标

• 为解决在奇素数 $p$ 且 $a_p = 0$ 的情况下，经典 $p$-进 $L$-函数不再有界的非普通Iwasawa理论中的理论空白。
• 通过在 $\mathrm{U}(3,1)$ 上利用Eisenstein同余关系，将超奇异情形下的Iwasawa主猜想归约为普通情形。
• 利用主猜想和控制定理，证明在超奇异素数处，分析秩为0或1时的BSD公式中的 $p$-部分。
• 构造显式的无限族非CM椭圆曲线，使其满足完整的BSD猜想，突破此前已知的有限集合。

提出的方法

• 通过基于在单位群 $\mathrm{U}(3,1)$ 上的Eisenstein同余关系的策略，将非普通Iwasawa主猜想归约为普通情形。
• 应用Kings-Loeffler-Zerbes关于Beilinson-Flach元素的显式互惠律，将 $p$-进 $L$-函数与Selmer群联系起来。
• 利用Pollack和Kobayashi引入的 $\pm$-Selmer群与 $\pm$-p-进 $L$-函数处理超奇异情形。
• 应用Kato以及Skinner-Urban关于Euler系与Eisenstein同余的结果，确立主猜想中一个整除关系。
• 利用三重积 $p$-进 $L$-函数与Finis的结果，证明某些Beilinson-Flach元素在Iwasawa代数中是单位。
• 通过控制定理与周期比较，将 $p$-进 $L$-函数的周期与BSD公式中的Néron周期对应起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $a_p = 0$ 的奇素数 $p$ 处，为超奇异椭圆曲线建立Iwasawa主猜想？
• RQ2 能否为无穷多组非CM椭圆曲线证明完整的Birch和Swinnerton-Dyer猜想？
• RQ3 能否通过Eisenstein同余关系，将非普通Iwasawa理论问题归约为可处理的普通Iwasawa理论？
• RQ4 如何利用Beilinson-Flach元素的显式互惠律，连接超奇异情形下 $p$-进 $L$-函数与Selmer群？
• RQ5 在超奇异素数处，何种条件可确保椭圆曲线二次扭曲线的BSD公式中 $p$-部分成立？

主要发现

• 在奇素数 $p$ 且 $a_p = 0$ 的情况下，证明了超奇异椭圆曲线的Iwasawa主猜想，即 $\pm$-对偶Selmer群的特征理想由 $\pm$-p-进 $L$-函数生成。
• 在主猜想假设下，证明了在超奇异素数处分析秩为0或1时的BSD公式中的 $p$-部分。
• 构造出一个显式的非CM椭圆曲线无限族，使得其完整BSD猜想成立，包括对正密度的素数平方自由积的二次扭。
• 该结果将满足完整BSD猜想的非CM椭圆曲线集合从有限多个扩展为无穷多个，涵盖如 46a1、69a1、77c1 和 114b1 等曲线。
• 该方法实现了对 $p$-进 $L$-函数周期的控制，并通过周期比较定理将其与Néron周期匹配，从而验证了BSD公式。
• 证明依赖于反交错 $\mu$-不变量的消失性，以及Beilinson-Flach元素在Iwasawa代数中的单位性，后者通过三重积 $p$-进 $L$-函数得到确认。