[论文解读] Jordan Blocks of H^2(D^n)

Jaydeb Sarkar|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文对 $n \geq 2$ 时的 Hardy 空间 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 的双重可交换商模和共双重可交换子模给出了完整的刻画。证明表明，此类商模可表为一变量 Jordan 块 $H^2(\mathbb{D})/\Theta_i H^2(\mathbb{D})$ 的张量积，而共双重可交换子模则为由一变量内函数生成的主理想的和，从而将 Beurling 定理推广至多变量情形。

ABSTRACT

We develop a several variables analog of the Jordan blocks of the Hardy space $H^2(\mathbb{D})$. In this consideration, we obtain a complete characterization of the doubly commuting quotient modules of the Hardy module $H^2(\mathbb{D}^n)$. We prove that a quotient module $\clq$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ ($n \geq 2$) is doubly commuting if and only if \[\clq = \clq_{Θ_1} \otimes \cdots \otimes \clq_{Θ_n},\]where each $\clq_{Θ_i}$ is either a one variable Jordan block $H^2(\mathbb{D})/Θ_i H^2(\mathbb{D})$ for some inner function $Θ_i$ or the Hardy module $H^2(\mathbb{D})$ on the unit disk for all $i = 1, \ldots, n$. We say that a submodule $\cls$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ is a co-doubly commuting if the quotient module $H^2(\mathbb{D}^n)/\cls$ is doubly commuting. We obtain a Beurling like theorem for the class of co-doubly commuting submodules of $H^2(\mathbb{D}^n)$. We prove that a submodule $\cls$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ is co-doubly commuting if and only if \[\cls = \mathop{\sum}_{i=1}^m Θ_i H^2(\mathbb{D}^n),\]for some integer $m \leq n$ and one variable inner functions $\{Θ_i\}_{i=1}^m$.

研究动机与目标

• 将 Jordan 块理论从一变量 Hardy 空间 $H^2(\mathbb{D})$ 推广至 $n \geq 2$ 的多变量情形 $H^2(\mathbb{D}^n)$。
• 以一变量 Jordan 块的张量积形式刻画 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 的所有双重可交换商模。
• 为 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 的共双重可交换子模建立类 Beurling 定理，将其识别为由一变量内函数生成的理想之和。
• 利用正交投影与模乘法算子对这些模进行结构分解。

提出的方法

• 本文通过保持模结构的酉映射，将 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 识别为 $n$ 重 Hilbert 张量积 $H^2(\mathbb{D}) \otimes \cdots \otimes H^2(\mathbb{D})$。
• 定义 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 中的 Jordan 块为双重可交换商模，其中乘法算子的压缩满足 $C_{z_i}C_{z_j}^* = C_{z_j}^*C_{z_i}$（$i \neq j$）。
• 关键技术在于利用与一变量内函数相关的秩一投影 $I - M_{\tilde{\Theta}_i}M_{\tilde{\Theta}_i}^*$，分析到商模的正交投影。
• 证明依赖于 $M_{z_i}M_{z_j}^* = M_{z_j}^*M_{z_i}$（$i \neq j$）这一事实，从而保证双重可交换条件成立。
• 应用引理 2.5，将投影算子的像与理想之和 $\tilde{\Theta}_{i_j}H^2(\mathbb{D}^n)$ 关联，从而刻画 $\mathcal{Q}^\perp$。
• 商模 $\mathcal{Q}$ 的结构被推导为 $H^2(\mathbb{D}^n)/\sum_{j=1}^m \tilde{\Theta}_{i_j}H^2(\mathbb{D}^n)$，其中每个 $\tilde{\Theta}_{i_j}$ 为一变量内函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 2$，$H^2(\mathbb{D}^n)$ 的双重可交换商模的完整结构是什么？
• RQ2 如何类比 Beurling 定理刻画 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 的共双重可交换子模？
• RQ3 一变量 Jordan 块的张量积分解能否推广以刻画多变量 Jordan 块？
• RQ4 正交投影在描述这些模的结构中起什么作用？
• RQ5 在高维情形下，模乘法算子在双重可交换条件下如何表现？

主要发现

• 若且唯若商模 $\mathcal{Q}$ 可分解为 $\mathcal{Q} = \mathcal{Q}_{\Theta_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{Q}_{\Theta_n}$，其中每个 $\mathcal{Q}_{\Theta_i}$ 为一变量 Jordan 块 $H^2(\mathbb{D})/\Theta_i H^2(\mathbb{D})$ 或 $H^2(\mathbb{D})$ 本身，则 $\mathcal{Q}$ 为双重可交换模。
• 若且唯若 $\mathcal{S} = \sum_{i=1}^m \Theta_i H^2(\mathbb{D}^n)$（$m \leq n$，且每个 $\Theta_i$ 为一变量内函数），则 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 的子模 $\mathcal{S}$ 为共双重可交换模。
• 商模 $\mathcal{Q}$ 上的正交投影为 $P_{\mathcal{Q}} = I - \prod_{j=1}^m (I - M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}^*)$，其中 $\tilde{\Theta}_{i_j}(\bm{z}) = \Theta_{i_j}(z_{i_j})$。
• 子模 $\mathcal{Q}^\perp$ 上的正交投影为 $P_{\mathcal{Q}^\perp} = \prod_{j=1}^m (I - M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}^*)$，从而确认了其零化子的结构。
• 该结果将 Izuchi、Nakazi 和 Seto（2007 年）定理 3.1 从双圆盘推广至任意维度 $n \geq 2$ 的多圆盘。
• 该刻画为共双重可交换子模提供了类 Beurling 定理，将其识别为由一变量内函数生成的主理想之和。