[论文解读] Jump Type Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients: Non Confluence, Feller and Strong Feller Properties, and Exponential Ergodicity

Fubao Xi, Chao Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文為具有超线性、非利普希茨系数的多维跳跃型SDE，建立了路径唯一性、非融合性、Feller与强Feller性质，以及指数遍历性的充分非利普希茨条件。通过耦合方法与比哈尔型不等式，证明了在局部连续性条件下解的非爆炸性、路径唯一性与指数遍历性，将结果扩展至经典利普希茨假设之外的范围。

ABSTRACT

This paper considers multidimensional jump type stochastic differential equations with super linear growth and non-Lipschitz coefficients. After establishing a sufficient condition for nonexplosion, this paper presents sufficient non-Lipschitz conditions for pathwise uniqueness. The non confluence property for solutions is investigated. Feller and strong Feller properties under non-Lipschitz conditions are investigated via the coupling method. Sufficient conditions for irreducibility and exponential ergodicity are derived. As applications, this paper also studies multidimensional stochastic differential equations driven by Lévy processes and presents a Feynman-Kac formula for Lévy type operators.

研究动机与目标

• 放松多维跳跃型SDE的古典线性增长与全局利普希茨条件。
• 在局部非利普希茨条件下，建立确保路径唯一性与非融合性的充分条件。
• 使用耦合技术，在局部非利普希茨假设下研究Feller与强Feller性质。
• 为具有非利普希茨系数的跳跃SDE推导不可约性与指数遍历性的充分条件。
• 将费曼-卡茨公式推广至由一般Lévy过程驱动的Lévy型生成元。

提出的方法

• 通过L yapunov型泛函，提出具有超线性增长系数的SDE中非爆炸性的充分条件。
• 在假设2.3下，应用类似Yamada-Watanabe的论证与光滑逼近，控制解之间的L1距离。
• 使用比哈尔型不等式证明L1距离趋于零，从而在局部非利普希茨条件下推出路径唯一性。
• 利用耦合方法，在局部非利普希茨条件下建立Feller与强Feller性质。
• 在局部非利普希茨假设下，通过不可约性与Foster-Lyapunov条件推导指数遍历性。
• 通过可测选择与分位数变换，构造Lévy测度的可测参数化，从而为Lévy型生成元建立费曼-卡茨公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种局部非利普希茨条件下，可保证具有超线性系数的多维跳跃SDE的路径唯一性？
• RQ2 如何利用耦合方法在局部非利普希茨条件下建立Feller与强Feller性质？
• RQ3 在具有非利普希茨系数的跳跃SDE中，确保非爆炸性与指数遍历性的条件是什么？
• RQ4 能否为由一般Lévy过程驱动的Lévy型算子推导出费曼-卡茨公式？
• RQ5 在局部非利普希茨条件下，跳跃SDE解的非融合性行为如何？

主要发现

• 为具有超线性增长系数的SDE建立了非爆炸性的充分条件，推广了线性增长假设。
• 提出了两组局部非利普希茨条件（假设2.3与2.5），通过比哈尔型不等式与直接耦合论证，保证了路径唯一性。
• 在相同的局部非利普希茨条件下验证了非融合性，确保不同解不会合并。
• 通过耦合技术，在局部非利普希茨条件下证明了Feller与强Feller性质，扩展了经典结果。
• 在不可约性与L yapunov型条件假设下，建立了指数遍历性，并通过Foster-Lyapunov漂移条件推导出收敛速率。
• 通过可测选择与分位数变换构造Lévy测度的可测参数化，为Lévy型算子推导出费曼-卡茨公式。