[论文解读] Lévy insurance risk processes with parisian type severity of debt

Juan Carlos Pardo, José Luis Pérez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2015

Probability and Risk Models参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文为谱负 Lévy 保险风险过程提出了一种新颖的破产定义，其中只有当负盈余波动超过一个随机标记的严重程度水平时才会发生破产。利用点过程理论与 scale 函数，作者基于 scale 函数与进入分布，推导出 Gerber–Shiu 期望折扣惩罚函数的显式表达式，将巴黎式破产概念扩展至以深度为基础而非持续时间为基础的失效标准。

ABSTRACT

In this article, we introduce a new definition of bankruptcy for a spectrally negative Lévy insurance risk process. More precisely, we study the Gerber-Shiu distribution for a ruin model where at each time the surplus goes negative, an independent negative random level is considered. If a negative excursion of the surplus exceeds such random level then the insurance company goes out of business. Our methodology uses excursion theory and relies on the description of the excursion measure away from 0 which was recently obtained by the authors in Pardo et al. (see arXiv:1507.05225). Our results are given in terms of the so-called scale functions.

研究动机与目标

• 基于负盈余波动的深度而非其持续时间，重新定义 Lévy 保险风险模型中的破产概念。
• 为每个负波动引入独立同分布的随机严重程度水平，仅当波动超过该水平时才触发破产。
• 利用波动理论与点过程测度，将 Gerber–Shiu 函数扩展至此新破产框架。
• 为谱负 Lévy 过程提供 Gerber–Shiu 函数的显式公式，其表达形式基于 scale 函数与进入分布。
• 处理有界与无界变差路径，特别关注无界变差情形，利用近期关于点过程测度的结果。

提出的方法

• 使用点过程理论建模盈余过程在零点以下的负波动，借助文献 [23] 提供的新点过程测度进入分布描述。
• 应用强马氏性质与波动的独立性，根据首次跌破零点时的路径行为，将 Gerber–Shiu 函数分解为不同情形。
• 使用 scale 函数 $W^{(q)}$ 与 $\mathcal{W}^{(q)}$ 表示在指数消亡与吸收存在下的首达与首 hitting 分布。
• 通过涉及 Lévy 测度 $\Pi$、scale 函数与进入分布 $\mathcal{W}^{(q)}(b,x,y)$ 的积分表示，推导 Gerber–Shiu 函数。
• 通过有限波动处理有界变差情形，通过无限波动处理无界变差情形，利用进入分布处理不可数个波动。
• 引入无 memory 的指数钟 $\mathbf{e}_\lambda$ 以建模破产识别的延迟，导致 Gerber–Shiu 函数中出现递归结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在谱负 Lévy 风险过程中，如何形式化基于深度的破产准则，即仅当负波动超过随机严重程度水平时才发生破产？
• RQ2 在此新破产规则下，Gerber–Shiu 函数的结构是怎样的？与经典或巴黎式破产模型有何不同？
• RQ3 如何利用点过程理论与 scale 函数，推导出无界变差情形下 Gerber–Shiu 函数的显式表达式？
• RQ4 点过程测度的进入分布在此模型中在刻画首次通过时间与过冲分布方面起什么作用？
• RQ5 引入指数钟以延迟破产识别，如何影响 Gerber–Shiu 函数的递归结构？

主要发现

• Gerber–Shiu 函数 $\phi_f(x,q,b)$ 表示为五项积分之和，每一项对应首次跌破零点时的特定路径行为。
• 第一项捕捉跳跃进入负区域时立即破产的情形，表达式为 $\int_0^b \int_{(-\infty,-(y+Y))} f(y,y+u) \mathcal{W}^{(q)}(b,x,y) \Pi(du) dy$。
• 第三项 $\mathcal{I}_f(x,q,b)$ 描述过程在返回零点前先触及 $-Y$ 的情形，由包含 $\mathcal{W}^{(q)}$ 与 $W^{(q)}$ 函数的四重积分给出。
• 第二与第四项涉及指数钟 $\mathbf{e}_\lambda$，其贡献分别为 $f(0,0) \cdot \frac{\sigma^2}{2}(\mathcal{O}^{(q)}(b,x) - \mathcal{O}^{(q+\lambda)}(b,x))$ 与 $\phi_f(0,q,b) \cdot \frac{\sigma^2}{2} \mathcal{O}^{(q+\lambda)}(b,x)$。
• 第五项描述返回零点但未触及 $-Y$ 的路径，表达式为 $\mathbb{E}\left[\int_0^b \int_{(-y-Y,-y)} \frac{W^{(q)}(y+u+Y)}{W^{(q)}(Y)} \mathcal{W}^{(q)}(b,x,y) \Pi(du) dy\right] \cdot \phi_f(0,q,b)$。
• 完整表达式 $\phi_f(x,q,b)$ 为这些项的线性组合，其中函数在零点的值 $\phi_f(0,q,b)$ 以递归形式出现，反映出指数钟的无 memory 性质。