[论文解读] Lagrangian fibration in duality on moduli space of rank two logarithmic connections over the projective line

Frank Loray, Masa-Hiko Saito|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文研究了在去掉 n 个点的射影直线上的秩 2 对数联络的模空间，其谱数据固定，证明了两个自然的拉格朗日纤维化——分别映射到关联的 Fuchs 方程的可去奇点和抛物丛模空间——是横截且对偶的。当 n=5 时，该几何结构恢复了四次 Del Pezzo 曲面的几何性质。

ABSTRACT

We study the moduli space of logarithmic connections of rank 2 on the Riemann sphere minus n points with fixed spectral data. There are two natural Lagrangian maps: one towards apparent singularities of the associated fuchsian scalar equation, and another one towards moduli of parabolic bundles. We show that these are transversal and dual to each other. In case n=5, we recover the beautiful geometry of Del Pezzo surfaces of degree 4.

研究动机与目标

• 分析在 P^1 去掉 n 个点且谱数据固定的秩 2 对数联络的模空间。
• 研究该模空间上两个自然的拉格朗日纤维化：一个映射到关联 Fuchs 方程的可去奇点，另一个映射到抛物丛的模空间。
• 建立这两个纤维化之间的横截性与对偶性。
• 探讨当 n=5 时的几何含义，特别是四次 Del Pezzo 曲面的出现。

提出的方法

• 构造 P^1 上带 n 个标记点且谱数据固定的秩 2 对数联络的模空间。
• 通过将每个联络映射到其关联的 Fuchs 标量微分方程的可去奇点集合，定义第一个拉格朗日纤维化。
• 通过将每个联络映射到其关联的抛物丛结构的模点，定义第二个拉格朗日纤维化。
• 证明这两个纤维化是横截的，即在每一点处它们的纤维横截相交。
• 确立这两个纤维化在辛几何中拉格朗日对偶的意义下是对偶的。
• 利用 n=5 的情形，证明模空间的总空间通过对偶结构实现了四次 Del Pezzo 曲面的几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 秩 2 对数联络模空间上的这两个自然纤维化在几何上如何关联？
• RQ2 这两个纤维化是否横截？这对模空间的辛结构有何含义？
• RQ3 这两个纤维化的对偶性能否用已知的代数曲面来解释？
• RQ4 当标记点数为 n=5 时，模空间中出现了何种几何结构？
• RQ5 在拉格朗日纤维化的语境下，谱数据如何约束模空间的几何结构？

主要发现

• 两个拉格朗日纤维化——一个映射到可去奇点，一个映射到抛物丛模空间——彼此横截。
• 这两个纤维化在辛对偶的意义下是对偶的，即它们的纤维在拉格朗日意义下构成一对对偶。
• 当 n=5 时，模空间实现了四次 Del Pezzo 曲面的几何结构。
• 对偶结构为经典四次 Del Pezzo 曲面的几何提供了辛几何的解释。
• 固定的谱数据确保模空间是一个光滑的全纯辛流形，且允许存在两个横截的拉格朗日纤维化。
• 该构造通过对数联络的模空间，为四次 Del Pezzo 曲面提供了新的几何实现。