[论文解读] Lagrangian fibrations on blowups of toric varieties and mirror symmetry for hypersurfaces

Mohammed Abouzaid, Denis Auroux+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 11

一句话总结

本文通过在 toric 变量及其爆破的爆破上使用拉格朗日子丛，为 toric 变量中的超曲面及其爆破构造了 SYZ 镜像，为超越卡拉比-丘与法诺流形的镜像对称建立了几何基础。在正性假设下，本文证明了 $V \times \mathbb{C}$ 沿 $H \times 0$ 的爆破 admits 一个 Landau-Ginzburg 镜像，该镜像亦为仿射二次曲面丛和原始超曲面 $H$ 提供了镜像，从而为一般型超曲面提供了一个框架。

ABSTRACT

We consider mirror symmetry for (essentially arbitrary) hypersurfaces in (possibly noncompact) toric varieties from the perspective of the Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) conjecture. Given a hypersurface $H$ in a toric variety $V$ we construct a Landau-Ginzburg model which is SYZ mirror to the blowup of $V imes\mathbb{C}$ along $H imes 0$, under a positivity assumption. This construction also yields SYZ mirrors to affine conic bundles, as well as a Landau-Ginzburg model which can be naturally viewed as a mirror to $H$. The main applications concern affine hypersurfaces of general type, for which our results provide a geometric basis for various mirror symmetry statements that appear in the recent literature. We also obtain analogous results for complete intersections.

研究动机与目标

• 将 Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) 猜想扩展至非卡拉比-丘与非法诺流形，特别是推广至一般型超曲面。
• 通过将原始空间替换为支持此类子丛的爆破，解决一般型流形上拉格朗日子丛子丛失效的问题。
• 为凯勒流形 $X$ 构造一个广义 SYZ 镜像作为 Landau-Ginzburg 模型 $(Y,W)$，其中 $Y$ 是 $X^0 \subset X$ 上拉格朗日子丛的弗克雅类别中对象模空间的完成，$W$ 编码了全纯圆盘的形变数据。
• 为一般型仿射超曲面提供镜像对称的几何实现，此前此类实现尚缺基础。
• 通过相同的爆破与子丛框架，将构造推广至完全交与仿射二次曲面丛。

提出的方法

• 在凯勒流形或 $A$-侧 Landau-Ginzburg 模型 $X$ 的一个开稠密子集 $X^0 \subset X$ 上，通过拉格朗日环面子丛 $\pi: X^0 \to B$ 定义广义 SYZ 镜像。
• 将镜像 $Y$ 构造为弗克雅类别 $\mathcal{F}(X^0)$ 中无阻碍环面类对象模空间的完成，超势能 $W$ 来源于形变理论与全纯圆盘计数。
• 利用正性假设，确保在 $\mathrm{Bl}_{H \times 0}(V \times \mathbb{C})$ 上存在行为良好的拉格朗日子丛子丛，从而实现 Landau-Ginzburg 镜像的构造。
• 应用截断函数技巧，并对中心纤维中各层的距离函数进行估计，以控制哈密顿向量场的行为，确保即使在奇异点集上其流也定义良好。
• 利用相对于 $H^2(X, \mathbb{Z}/2)$ 中背景类的扭曲弗克雅类别，以处理非旋结构及一般型情形下的受阻弗克雅理论。
• 利用莫尔斯-博特定超势能的弗克雅类别与其临界点集的弗克雅类别之间的等价性（考虑曲率偏移），将镜像与原始超曲面 $H$ 关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 SYZ 猜想能否被推广至缺乏特殊拉格朗日子丛的一般型超曲面？
• RQ2 当超曲面 $H$ 在 toric 变量 $V$ 中不承认拉格朗日环面子丛时，如何为其构造一个 Landau-Ginzburg 镜像？
• RQ3 $V \times \mathbb{C}$ 沿 $H \times 0$ 的爆破在实现 $H$ 的广义 SYZ 镜像中扮演何种角色？
• RQ4 如何将具有莫尔斯-博特定超势能的 $A$-侧 Landau-Ginzburg 模型的弗克雅类别与临界点集的弗克雅类别关联起来？
• RQ5 该构造能否推广至完全交与仿射二次曲面丛？

主要发现

• 在正性假设下，$V \times \mathbb{C}$ 沿 $H \times 0$ 的爆破 admits 拉格朗日环面子丛，从而支持广义 SYZ 镜像的构造。
• 所得镜像为 Landau-Ginzburg 模型 $(Y,W)$，其中 $Y$ 是 $\mathcal{F}(X^0)$ 中对象模空间的完成，$W$ 限制为来自全纯圆盘计数的超势能。
• 该构造为原始超曲面 $H$ 提供了 Landau-Ginzburg 镜像，为一般型超曲面的文献中镜像对称陈述提供了几何基础。
• 该方法适用于仿射二次曲面丛，通过相同的爆破与子丛框架，为其提供了 SYZ 镜像。
• 与扰动函数 $f_{t,\lambda}$ 相关的哈密顿向量场在局部上一致有界，确保即使在 $H$ 等奇异点集上，其流也存在且定义良好，尤其当 $(t,\lambda) = (0,\epsilon)$ 时。
• 相对于 $H^2(X, \mathbb{Z}/2)$ 中背景类的扭曲弗克雅类别，使构造能够处理非旋结构与受阻拉格朗日子流形，这对一般型几何至关重要。