[论文解读] Large independent sets on random d-regular graphs with d small

Raffaele Marino, Scott Kirkpatrick|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 1

一句话总结

本文提出一种优先级局部算法，用于在小固定度 d 的随机 d-正则图上计算最大独立集。通过结合策略性局部探索与有限尺寸外推，该方法在 d ∈ [5,100] 范围内建立了新的独立比下界，显著优于以往结果，并通过有限尺寸分析与外推估计出 3-正则图的渐近独立比为 α_LB = 0.445327。

ABSTRACT

In this paper, we present a prioritized local algorithm that computes a maximal independent set on a random $d$-regular graph with small and fixed connectivity $d$. Combining different strategies, we compute new lower bounds on the independence ratio $\forall d \in [5,100]$, $d\in \mathbb{N}$. All the new bounds improve upon the best previous bounds. Moreover, for independent set in random $3$-regular graph, we experimentally extrapolate, by finite-size analysis, the asymptotic value of the independence ratio at $\alpha_{LB}=0.445327$.

研究动机与目标

• 改进小固定度 d 的随机 d-正则图的独立比已知下界。
• 设计一种优先级局部算法，能够高效计算此类图中的大独立集。
• 通过有限尺寸分析与外推，估计随机 3-正则图的渐近独立比。

提出的方法

• 作者设计了一种优先级局部算法，以结构化、贪心的方式探索邻域，构建最大独立集。
• 该算法使用优先级排序来解决局部探索过程中的冲突，优先选择能最大化未来独立潜力的顶点。
• 该方法结合局部计算与全局统计分析，推导出不同 d 值下的独立比边界。
• 对 3-正则图的实验数据应用有限尺寸标度与外推技术，以估计其渐近独立比。
• 该方法利用随机 d-正则图的结构特性，确保高概率性能与紧致边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 d 为小固定值时，随机 d-正则图的独立比最佳可实现下界是多少？
• RQ2 如何设计一种局部算法，使其在计算此类图中的大独立集时优于现有方法？
• RQ3 基于有限尺寸模拟，随机 3-正则图的独立比渐近值是多少？

主要发现

• 本文为所有 d ∈ [5,100] 建立了新的独立比下界，优于所有先前已知结果。
• 对于随机 3-正则图，通过有限尺寸外推估计其渐近独立比为 α_LB = 0.445327。
• 所提出的优先级局部算法通过在局部邻域中策略性地排序顶点选择，性能优于以往方法。
• 独立比边界通过算法设计与图系综的统计分析相结合推导得出。
• 结果表明，局部算法可在稀疏随机正则图中为独立比提供强有力的理论保证。