[论文解读] Lie theory and cohomology of relative Rota-Baxter operators

Jun Jiang, Yunhe Sheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用 6

一句话总结

该论文通过在李代数和李群上发展上同调理论，建立了权为1的相对Rota-Baxter算子的局部李理论，证明了两者之间的Van Est同构，并表明微分与局部积分是伴随函子。关键贡献在于此类算子的函子性局部积分，从而实现了对因子分解问题的显式求解以及李群匹配对的积分。

ABSTRACT

In this paper, we establish a local Lie theory for relative Rota-Baxter operators of weight $1$. First we recall the category of relative Rota-Baxter operators of weight $1$ on Lie algebras and construct a cohomology theory for them. We use the second cohomology group to study infinitesimal deformations of relative Rota-Baxter operators and modified $r$-matrices. Then we introduce a cohomology theory of relative Rota-Baxter operators on a Lie group. We construct the differentiation functor from the category of relative Rota-Baxter operators on Lie groups to that on Lie algebras, and extend it to the cohomology level by proving the Van Est theorem between the two cohomology theories. We integrate a relative Rota-Baxter operator of weight 1 on a Lie algebra to a local relative Rota-Baxter operator on the corresponding Lie group, and show that the local integration and differentiation are adjoint to each other. Finally, we give two applications of our integration of Rota-Baxter operators: one is to give an explicit formula for the factorization problem, and the other is to provide an integration for matched pairs.

研究动机与目标

• 为李代数和李群上的权为1的相对Rota-Baxter算子建立上同调理论。
• 从李群算子到李代数算子建立微分函子，并在上同调层面证明Van Est定理。
• 证明此类算子的局部积分是可能的且具有函子性，且微分与积分构成伴随对。
• 将积分理论应用于求解局部因子分解问题并积分李群的匹配对。
• 通过上同调框架对修正$ r $-矩阵的形变进行分类。

提出的方法

• 使用范畴$ \mathsf{RB_{\mathfrak{g}}^{\mathfrak{h}}} $为李代数上的相对Rota-Baxter算子建立上同调理论，其中第二上同调群分类无穷小形变。
• 通过范畴$ \mathsf{RB_{G}^{H}} $为李群上的相对Rota-Baxter算子定义上同调理论，利用光滑群结构并保持与群乘法的相容性。
• 引入一个微分函子，将李群上的相对Rota-Baxter算子映射到其切李代数上的算子。
• 证明李群上同调与李代数上同调之间的Van Est同态，建立上同调联系。
• 通过使用指数映射将算子的图像提升到李群并分析其与Rota-Baxter条件的相容性，构建局部积分函子。
• 利用微分与局部积分的伴随性，证明局部积分是良好定义的、函子性的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为李代数上的权为1的相对Rota-Baxter算子建立上同调理论，其如何分类形变？
• RQ2 能否为李群上的相对Rota-Baxter算子建立上同调理论，其与李代数上同调有何关系？
• RQ3 从李群到李代数的微分函子是否能提升为上同调同构，即是否存在Van Est定理？
• RQ4 能否将李代数上的相对Rota-Baxter算子局部积分到李群上，且该过程是否具有函子性？
• RQ5 能否利用Rota-Baxter算子的局部积分来求解因子分解问题或积分李群的匹配对？

主要发现

• 李代数上相对Rota-Baxter算子的第二上同调群分类了算子和修正$ r $-矩阵的无穷小形变。
• 构造了李群上相对Rota-Baxter算子的上同调理论，并证明了连接群与代数上同调的Van Est同态。
• 相对Rota-Baxter算子的微分与局部积分是伴随函子，确立了这些算子的局部李理论。
• 李代数上Rota-Baxter算子的局部积分在相应单连通李群上产生一个局部Rota-Baxter算子。
• 通过Rota-Baxter算子的积分推导出李群上局部因子分解问题的显式公式。
• 李代数的匹配对$ (\mathfrak{g}_B, \mathfrak{g}_{\text{diag}}) $积分到李群的匹配对$ (G_\mathcal{B}, G_{\text{diag}}) $，提供了新的可积性判据。