[论文解读] Homotopy Rota-Baxter operators, homotopy $\mathcal{O}$-operators and homotopy post-Lie algebras

Rong Tang, Chengming Bai+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 38被引用 7

一句话总结

本文通过微分graded李代数中的Maurer-Cartan元素，引入了对称graded李代数上的同伦Rota-Baxter算子与同伦$ϴ$-算子，建立了算子同伦后李代数的框架。关键贡献是利用后李代数在表示中的上同调，对2-项骨架算子同伦后李代数进行分类，将其与3-上循环联系起来。

ABSTRACT

Rota-Baxter operators, $\mathcal{O}$-operators on Lie algebras and their interconnected pre-Lie and post-Lie algebras are important algebraic structures with applications in mathematical physics. This paper introduces the notions of a homotopy Rota-Baxter operator and a homotopy $\mathcal{O}$-operator on a symmetric graded Lie algebra. Their characterization by Maurer-Cartan elements of suitable differential graded Lie algebras is provided. Through the action of a homotopy $\mathcal{O}$-operator on a symmetric graded Lie algebra, we arrive at the notion of an operator homotopy post-Lie algebra, together with its characterization in terms of Maurer-Cartan elements. A cohomology theory of post-Lie algebras is established, with an application to 2-term skeletal operator homotopy post-Lie algebras.

研究动机与目标

• 通过微分graded李代数将Rota-Baxter算子、$ϴ$-算子与后李代数推广至同伦情形。
• 通过适当graded李代数中的Maurer-Cartan元素，定义并刻画同伦Rota-Baxter算子与$ϴ$-算子。
• 引入算子同伦后李代数的概念，作为后李代数在同伦背景下的推广。
• 为后李代数建立上同调理论，并将其应用于对2-项骨架算子同伦后李代数的分类。
• 建立2-项骨架算子同伦后李代数与三元组$((\mathfrak{h},[\cdot,\cdot]_{\mathfrak{h}},\rhd),(V;\rho,\mu,\nu),\omega)$之间的一一对应关系，其中$\omega$是后李代数在表示上的3-上循环。

提出的方法

• 通过微分graded李代数中的Maurer-Cartan元素，定义对称graded李代数上权重为$\lambda$的同伦$ϴ$-算子。
• 构造一个微分graded李代数，使其1-次Maurer-Cartan元素对应于同伦$ϴ$-算子。
• 将算子同伦后李代数定义为由对称graded李代数上的同伦$ϴ$-算子诱导的结构。
• 利用表示建立后李代数的上同调理论，并在表示空间中定义3-上循环。
• 利用上同调框架，通过3-上循环与相容表示对2-项骨架算子同伦后李代数进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过微分graded李代数将Rota-Baxter算子与$ϴ$-算子推广至同伦情形？
• RQ2 同伦$ϴ$-算子在对称graded李代数上诱导出何种代数结构，其特征如何？
• RQ3 后李代数的上同调理论是什么，其与形变和扩张有何关系？
• RQ4 2-项骨架算子同伦后李代数如何通过代数数据进行分类？
• RQ5 2-项骨架算子同伦后李代数与三元组（后李代数、表示、3-上循环）之间的确切对应关系是什么？

主要发现

• 对称graded李代数上的同伦$ϴ$-算子被表征为适当微分graded李代数中Maurer-Cartan方程的1-次解。
• 算子同伦后李代数被定义为由同伦$ϴ$-算子诱导的结构，其定义公理由涉及多重线性映射的方程组编码。
• 为后李代数建立了上同调理论，其中3-上循环在分类扩张中起核心作用。
• 2-项骨架算子同伦后李代数与三元组$((\mathfrak{h},[\cdot,\cdot]_{\mathfrak{h}},\rhd),(V;\rho,\mu,\nu),\omega)$之间存在一一对应关系，其中$\omega$是后李代数在表示上的3-上循环。
• 该分类结果推广了已知的通过第三上同调群对骨架预李2-代数的分类，现已扩展至算子同伦后李代数情形。