[论文解读] Lifting Problems in Grothendieck Fibrations

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义框架，用于在格罗滕迪克纤维化中提升问题，通过将生成映射的集合替换为纤维化中的垂直映射，统一了张量生成与代数张量生成的因子分解。该框架证明了普遍提升问题的存在性，并将加纳的极小对象方法推广至纤维化设定，从而在拓扑斯理论、可实现性模型和立方类型理论中实现了新构造。

ABSTRACT

Many interesting classes of maps from homotopical algebra can be characterised as those maps with the right lifting property against certain sets of maps (such classes are sometimes referred to as cofibrantly generated). In a more sophisticated notion due to Garner (referred to as algebraically cofibrantly generated) the set of maps is replaced with a diagram over a small category. We give a yet more general definition where the set or diagram of maps is replaced with a vertical map in a Grothendieck fibration. In addition to an interesting new view of the existing examples above, we get new notions, such as computable lifting problems in presheaf assemblies, and internal lifting problems in a topos. We show that under reasonable conditions one can define a notion of universal lifting problem and carry out step-one of Garner's small object argument. We give explicit descriptions of what the general construction looks like in some examples.

研究动机与目标

• 通过将生成映射的集合嵌入格罗滕迪克纤维化中，将张量生成因子化的概念推广至映射集合之外的范畴。
• 将极小对象方法扩展至纤维化设定，特别是在代数弱因子化系统（awfs）的背景下。
• 为内部范畴、预层叠装和余域纤维化中的提升问题提供统一的处理方式。
• 阐明立方类型理论中 Kan 纤维化与可约纤维化的结构，特别是在 BCH 模型中。
• 通过一个共同的广义框架，探索纤维化提升、丰富提升与双范畴提升之间的联系。

提出的方法

• 通过纤维化中的垂直映射定义提升问题，将经典的提升图推广至纤维化语境。
• 在局部小纤维化中引入通过同态对象实现的普遍提升问题概念，确保在合理条件下存在性。
• 利用伴随与（ co ）单子，特别是利用 Lawvere 和 Garner 的框架，在纤维化上构造函子性因子分解。
• 将纤维化 Leibniz 构造应用于张量纤维化，使拓扑斯与可实现性模型中因子化的内部生成成为可能。
• 利用余域纤维化与范畴索引族建模经典提升结构，包括立方集中的情形。
• 通过纤维化张量结构建立在纤维化设定中存在代数自由 awfs 与 rawfs 的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过格罗滕迪克纤维化将张量生成弱因子化系统推广至生成映射集合之外？
• RQ2 极小对象方法能否在内部化并推广至纤维化结构中，特别是在拓扑斯与可实现性模型中？
• RQ3 余域纤维化在刻画立方类型理论中可约纤维化与 Kan 纤维化的角色是什么？
• RQ4 纤维化提升问题如何与丰富提升性质及双范畴提升构造相关联？
• RQ5 是否存在一个共同的广义框架，能涵盖纤维化、丰富与双范畴的提升问题概念？

主要发现

• 在局部小纤维化中，普遍提升问题存在，从而实现了极小对象方法的纤维化理论推广。
• 纤维化 Leibniz 构造可定义于张量纤维化之上，使拓扑斯与预层叠装中因子化的内部生成成为可能。
• 在 BCH 立方集模型中，可约纤维化相对于 01-代换集上的余域纤维化是张量生成的。
• BCH 模型中的 Kan 纤维化可通过范畴索引族纤维化刻画，尽管其构造依赖于非纤维化的张量积（分离积）。
• 该框架可容纳如有效拓扑斯与函数可实现性拓扑斯等可实现性拓扑斯，这些拓扑斯具有非平凡的同伦结构。
• 通过 Simpson 的独立四边形子范畴，部分解决了纤维化张量积问题，从而实现了分离积的纤维化推广。