[论文解读] A homotopy-theoretic model of function extensionality in the effective topos

Daniil Frumin, Benno van den Berg|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文在有效拓扑空间的一个全子范畴上构造了一个Quillen模型结构，使用带有连接的区间对象和一个优势关系，实现了同伦类型论的同伦理论模型，该模型包含同伦类型、Σ-和Π-类型以及函数扩展性。其主要贡献在于：在此模型中，离散对象是纤维化的，一致非空对象是可缩的，且纤维化装配的同伦范畴与适度集范畴等价。

ABSTRACT

We present a way of constructing a Quillen model structure on a full subcategory of an elementary topos, starting with an interval object with connections and a certain dominance. The advantage of this method is that it does not require the underlying topos to be cocomplete. The resulting model category structure gives rise to a model of homotopy type theory with identity types, $Σ$- and $Π$-types, and functional extensionality. We apply the method to the effective topos with the interval object $ abla 2$. In the resulting model structure we identify uniform inhabited objects as contractible objects, and show that discrete objects are fibrant. Moreover, we show that the unit of the discrete reflection is a homotopy equivalence and the homotopy category of fibrant assemblies is equivalent to the category of modest sets. We compare our work with the path object category construction on the effective topos by Jaap van Oosten.

研究动机与目标

• 在不依赖共完备性的前提下，于有效拓扑空间中发展类型论的同伦理论模型。
• 在初等拓扑空间的一个全子范畴上，利用区间对象和优势关系建立Quillen模型结构。
• 在此模型中解释马丁-洛夫类型论，包含同伦类型、Σ-和Π-类型以及函数扩展性。
• 在该模型结构下，刻画有效拓扑空间中可缩对象与纤维化装配的特征。
• 将该构造与Jaap van Oosten在有效拓扑空间上提出的路径对象范畴进行比较。

提出的方法

• 该方法在初等拓扑空间的一个全子范畴上，利用带有连接的区间对象和优势关系构造Quillen模型结构，避免依赖共完备性。
• 在纤维化对象上定义三类映射——纤维化、同伦等价和弱等价，构成一个模型范畴。
• 使用有效拓扑空间中的区间对象∇2作为同伦类型和路径对象解释的基础。
• 通过利用纤维化和一致性，定义路径提升与同伦等价，尤其针对装配结构。
• 利用离散反射与纤维化替换，将纤维化装配的同伦范畴与有效拓扑空间中的适度集范畴联系起来。
• 将该模型与van Oosten的路径对象范畴进行比较，表明当前构造提供了更强的同伦理论结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设共完备性的初等拓扑空间的子范畴上构造Quillen模型结构？
• RQ2 所得到的模型结构是否支持有效拓扑空间中Π-类型的函数扩展性？
• RQ3 有效拓扑空间中的一致非空对象是否等价于该模型中的可缩对象？
• RQ4 纤维化装配的同伦范畴是否与有效拓扑空间中的适度集范畴等价？
• RQ5 该模型能否扩展到整个有效拓扑空间？如果可以，如何实现？

主要发现

• 在该模型中，一致非空对象被识别为可缩对象，即它们存在到常值映射的同伦。
• 有效拓扑空间中的离散对象在所构造的模型结构中是纤维化的。
• 离散反射的单位是一个同伦等价，表明离散对象在同伦意义上具有代表性。
• 纤维化装配的同伦范畴与有效拓扑空间中的适度集范畴等价。
• 路径对象函子P(X)与纤维化装配X的内部路径空间X^I同伦等价。
• 该模型支持Π-类型的函数扩展性，表明函数的逐点相等意味着类型论意义上的相等。