[论文解读] Limit of Gaussian and normal curvatures of surfaces in Riemannian approximation scheme for sub-Riemannian three dimensional manifolds and Gauss-Bonnet theorem

José M. M. Veloso|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过取黎曼近似极限的方式，为三维次黎曼流形中的曲面建立了高斯-博内定理。利用一组在 $ L \to \infty $ 时退化为次黎曼结构的度量 $<,>_{L}$，证明了高斯曲率 $K$ 和法曲率 $k_n$ 收敛到仅依赖于函数 $A$ 的明确定义的极限，从而导出次黎曼高斯-博内公式：$\int_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$。关键结果是在内在次黎曼设定下成立的几何高斯-博内定理。

ABSTRACT

The authors Balogh-Tyson-Vecchi in arXiv:1604.00180 utilize the Riemannian approximations scheme $(\mathbb H^1,_L)$, in the Heisenberg group, introduced by Gromov, to calculate the limits of Gaussian and normal curvatures defined on surfaces of $\mathbb H^1$ when $L ightarrow\infty$. They show that these limits exist (unlike the limit of Riemannian surface area form or length form), and they obtain Gauss-Bonnet theorem in $\mathbb H^1$ as limit of Gauss-Bonnet theorems in $(\mathbb H^1,_L)$ when $L$ goes to infinity. This construction was extended by Wang-Wei in arXiv:1912.00302 to the affine group and the group of rigid motions of the Minkowski plane. We generalize constructions of both papers to surfaces in sub-Riemannian three dimensional manifolds following the approach of arXiv:1909.13341, and prove analogous Gauss-Bonnet theorem.

研究动机与目标

• 将高斯-博内定理从赫尔曼诺夫群和仿射群中的黎曼近似推广到任意三维次黎曼流形。
• 在黎曼近似方案 $<,>_{L}$ 下，定义并分析曲面的高斯曲率与法曲率的极限，当 $L \to \infty$ 时。
• 利用极限曲率和豪斯多夫测度，推导出次黎曼高斯-博内公式。
• 证明极限曲率 $K$ 和 $k_n$ 仅依赖于函数 $A$，该函数编码了水平分布与曲面之间的夹角。

提出的方法

• 在切丛上构造一维参数族的黎曼度量 $<,>_{L}$，其中 $e_1, e_2$ 为标准正交基，$e_3^L = e_3 / \sqrt{L}$，使得其 Levi-Civita 联络 $\overline{\nabla}^L$ 得以定义。
• 在曲面 $S$ 上定义标准正交基 $X_2^L = f_2$，$X_3^L = f_3 / \sqrt{L + A^2}$，并计算在 $<,>_{L}$ 度量下的法向量 $X_1^L$。
• 使用诱导联络 $\nabla^L$ 计算曲面 $S$ 上的黎曼高斯曲率 $K^L$ 与法曲率 $k_n^L$，然后取 $L \to \infty$ 的极限。
• 证明 $\lim_{L\to\infty} K^L = K = -dA(f_2) - A^2$ 与 $\lim_{L\to\infty} k_n^L = k_n = \frac{y}{|y|}A$，其中 $A$ 是与水平分布和曲面分布之间夹角相关的函数。
• 通过将 $d\sigma_L$ 与 $ds_L$ 分别按 $1/\sqrt{L}$ 缩放，定义极限面积形式 $d\sigma = f^2 \wedge f^3$ 与长度形式 $ds = \frac{y}{|y|}f^3$，从而恢复豪斯多夫测度。
• 对极限形式应用斯托克斯定理，推导出高斯-博内公式：$\int_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过格罗莫夫-黎曼近似方案，将次黎曼三维流形中的高斯-博内定理由黎曼高斯-博内定理的极限推导出来？
• RQ2 尽管面积与长度元素不收敛，曲面的高斯曲率与法曲率在 $<,>_{L}$-近似方案下当 $L \to \infty$ 时是否收敛？
• RQ3 高斯曲率 $K$ 的显式极限表达式如何用曲面与次黎曼结构的几何数据表示？
• RQ4 横截曲线的法曲率 $k_n$ 的极限表达式是什么？它与函数 $A$ 有何关系？
• RQ5 能否利用极限曲率与豪斯多夫测度，在次黎曼设定下建立一致的高斯-博内公式？

主要发现

• 在 $<,>_{L}$-近似方案下，高斯曲率 $K^L$ 的极限存在，且等于 $K = -dA(f_2) - A^2$，其中 $A$ 是编码水平分布与曲面之间夹角的函数。
• 法曲率 $k_n^L$ 的极限存在，且等于 $k_n = \frac{y}{|y|}A$，其仅依赖于 $A$ 与曲线方向。
• 曲面上的极限面积形式为 $d\sigma = f^2 \wedge f^3$，与次黎曼度量下的内在豪斯多夫测度一致。
• 横截曲线的极限长度形式为 $ds = \frac{y}{|y|}f^3$，同样与该类曲线上豪斯多夫测度匹配。
• 次黎曼极限下的高斯-博内公式为 $\int_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$，通过在极限形式上应用斯托克斯定理推导得出。
• 该结果将先前在赫尔曼诺夫群与仿射群中得到的高斯-博内定理推广到具有接触分布的任意三维次黎曼流形。