[论文解读] Linear Locally Repairable Codes with Random Matrices

Toni Ernvall, Thomas Westerbäck+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2014

Advanced Data Storage Technologies参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于随机生成矩阵并附加少量结构化列以确保局部性的线性局部可修复码（LRCs）构造方法。证明了随着域大小增加，此类码以高概率实现几乎最优的最小距离，并提供了从现有码构造更大或更小LRCs的可构造方法，确保在实际应用中具有近似最优性能。

ABSTRACT

In this paper, locally repairable codes with all-symbol locality are studied. Methods to modify already existing codes are presented. Also, it is shown that with high probability, a random matrix with a few extra columns guaranteeing the locality property, is a generator matrix for a locally repairable code with a good minimum distance. The proof of this gives also a constructive method to find locally repairable codes.

研究动机与目标

• 提出一种使用随机生成矩阵构造线性局部可修复码（LRCs）并实现全符号局部性的方法。
• 证明在域大小趋于无穷时，带有少量非随机列以确保局部性的随机矩阵可生成以概率趋于1实现高最小距离的码。
• 提出从现有码系统化构造更大或更小LRCs的可构造方法，同时保持或改善局部性和距离特性。
• 建立所构造码的几乎最优性，其与理论最大距离的差距至多为δ−1。

提出的方法

• 使用由随机向量与结构化块（如单位矩阵和二进制块）组成的生成矩阵，以对所有符号强制实现(r,δ)-局部性。
• 通过将码符号划分为大小为s_j ∈ [r+δ−1]的组S_j，每组支持一个最小距离为δ的局部修复码。
• 应用概率分析以限制距离较差的可能性，表明失败概率随q → ∞而趋于零。
• 利用列置换和权重最小化论证，基于局部修复集中非零分量的数量，推导出最小距离的下界。
• 通过扩展现有码来构造码：将长度和维度各增加1，同时将局部性增加1，保持最小距离不变。
• 通过基于投影的方法将码长度减少1，同时保持维度和局部性，且距离d′ ≥ d，从而保持或改善距离特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用少量非随机列的随机生成矩阵能否产生具有良好最小距离的线性LRCs？
• RQ2 带有局部性强制列的随机矩阵产生几乎最优最小距离码的概率是多少？
• RQ3 如何系统化地扩展或缩减现有LRCs，以生成具有所需参数的新码？
• RQ4 所构造LRCs的最小距离是多少？它们与理论最优界有多接近？

主要发现

• 以高概率，由少量结构化列增强的随机生成矩阵可产生最小距离至少为d_opt(n,k,r,δ) − δ + 1的线性LRCs。
• 随着域大小q趋于无穷，所构造码未能实现几乎最优距离的概率趋于零。
• 当n为(r+δ−1)的倍数时，该构造可产生达到理论界d_opt(n,k,r,δ)的最优码。
• 当n非(r+δ−1)的倍数时，最小距离仍与最优界相差至多δ−1，证实其几乎最优性。
• 该方法允许系统化地扩展码：从(n,k,d,r)扩展为(n+1,k+1,d,r+1)，且保持距离不变。
• 缩减方法可产生长度为n−1、维度k′ ≥ k−1、距离d′ ≥ d、局部性为r的码，从而保持关键码特性。