[论文解读] LINEAR RESPONSE FORMULA FOR EQUILIBRIUM STATES IN NON-UNIFORMLY EXPANDING DYNAMICS

Thiago Bomfim, Armando Castro+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 42被引用 2

一句话总结

本文在不依赖马尔可夫划分的前提下，为非一致膨胀动力系统中的平衡态建立了线性响应公式。证明了拓扑压强、最大熵测度及李雅普诺夫指数关于动力系统和势函数的可微性，并推导出平衡态的连续局部大偏差原理。

ABSTRACT

In this paper we give further contributions to the ergodic theory of a robust class of local diffeomorphisms with non-uniform expansion and where no Markov assumption is required. We prove that the topological pressure is differentiable as a function of the dynamics and the potential and provide a formula to the differentiable dependence of equilibrium states. Moreover we prove differentiability of the maximal entropy measure and continuity of ex- tremal Lyapunov exponents and metric entropy with respect to the dynamics. Finally we obtain a local large deviation principle for the equilibrium states and show that the rate function is continuous with respect to the dynamics and the potential.

研究动机与目标

• 将线性响应理论推广至一类具有非一致膨胀性质的局部微分同胚。
• 建立拓扑压强作为动力系统和势函数函数的可微性。
• 推导出平衡态关于动力系统和势函数扰动的可微依赖关系的公式。
• 证明在系统扰动下极端李雅普诺夫指数和度量熵的连续性。
• 为该类系统的平衡态建立局部大偏差原理，并证明率函数关于动力系统和势函数的连续性。

提出的方法

• 利用遍历理论与光滑动力系统技术，分析非一致膨胀映射。
• 在无马尔可夫划分的条件下应用平衡态与拓扑压强的理论。
• 采用扰动方法研究压强与平衡态关于动力系统和势函数的可微性。
• 通过隐函数求导与转移算子的谱分析，推导出线性响应公式。
• 利用不变测度的正则性性质，建立李雅普诺夫指数与度量熵的连续性。
• 应用大偏差理论，获得率函数连续的局部大偏差原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非一致膨胀系统中，拓扑压强如何关于动力系统和势函数可微地依赖？
• RQ2 在动力系统和势函数发生扰动时，平衡态导数的显式公式是什么？
• RQ3 极端李雅普诺夫指数与度量熵是否关于系统扰动保持连续？
• RQ4 该类系统中平衡态是否满足局部大偏差原理？
• RQ5 大偏差原理的率函数是否关于动力系统和势函数连续？

主要发现

• 拓扑压强作为动力系统和势函数的函数是可微的。
• 推导出了平衡态关于动力系统和势函数扰动的可微依赖关系的线性响应公式。
• 最大熵测度关于动力系统是可微的。
• 极端李雅普诺夫指数与度量熵是动力系统和势函数的连续函数。
• 为平衡态建立了局部大偏差原理，且率函数连续。
• 结果无需假设马尔可夫划分，从而可推广至更广泛的非一致膨胀系统类别。