[论文解读] Linear, Second order and Unconditionally Energy stable schemes for The Viscous Cahn-Hilliard Equation with hyperbolic relaxation

Xiaofeng Yang, Jia Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出两种针对带有双曲松弛项的黏性Cahn-Hilliard方程的二阶、线性且无条件能量稳定的时间积分格式，采用不变能量二次化（IEQ）方法。通过半显式处理非线性项，该格式确保能量稳定性，且每时间步仅需求解对称正定线性系统，从而在保持能量耗散结构的同时支持大时间步长。

ABSTRACT

In this paper, we consider the numerical approximations for the fourth order viscous Cahn-Hilliard equation with the hyperbolic relaxation. The main challenge in solving such a diffusive system numerically is how to develop high order temporal discretization for the hyperbolic and nonlinear terms that allows large time step while preserving the unconditional energy stability, i.e., the energy dissipative structure at the time-discrete level. We resolve this issue by developing two second order time marching schemes using the recently developed Invariant Energy Quadratization approach where all nonlinear terms are treated semi-explicitly. In each time step, one only needs to solve a linear system that is symmetric positive definite. We rigorously prove all proposed schemes are unconditionally energy stable, which is further verified by time step refinement test numerically. Moreover, a number of 2D and 3D numerical simulations are presented to demonstrate the stability, accuracy and efficiency of the proposed schemes.

研究动机与目标

• 为带有双曲松弛项的黏性Cahn-Hilliard方程开发高阶时间离散格式，同时保持无条件能量稳定性。
• 克服在存在非线性和双曲项时，平衡大时间步长与能量稳定性的挑战。
• 设计计算高效的数值格式，确保每时间步的线性系统具有对称正定结构。
• 在时间离散层面严格证明所提格式的能量稳定性。
• 通过广泛的二维和三维数值模拟验证格式的准确性、稳定性和高效性。

提出的方法

• 采用不变能量二次化（IEQ）方法，将非线性项重新表述为二次能量结构，从而实现半显式处理。
• 通过类似Crank-Nicolson的格式对IEQ重构后的系统实现二阶时间离散化。
• 所有非线性项均采用半显式处理，避免非线性求解，同时保持线性系统结构。
• 所得时间离散系统生成对称正定线性系统，可在每时间步高效求解。
• 通过证明离散能量随时间无条件单调递减，严格证明了能量稳定性。
• 通过二维和三维模拟实现并测试了该格式，以验证其稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持无条件能量稳定性的前提下，为带有双曲松弛项的黏性Cahn-Hilliard方程实现二阶时间离散化？
• RQ2 能否利用IEQ方法对非线性项进行半显式处理，以保持线性系统结构并避免非线性求解？
• RQ3 是否可以设计一种格式，允许使用大时间步长而不损失能量稳定性？
• RQ4 在二维和三维模拟中，所提格式在准确性和效率方面表现如何？
• RQ5 时间步长细化测试是否验证了二阶收敛性与无条件能量稳定性？

主要发现

• 时间步长细化测试证实，所提格式在时间方向达到二阶精度。
• 所提格式具有无条件能量稳定性，离散能量在每个时间步均单调递减。
• 每个时间步仅需求解一个对称正定线性系统，确保计算高效性。
• 二维和三维数值模拟表明，该格式在长时间积分下表现出鲁棒的稳定性和准确性。
• 基于IEQ的方法成功处理了非线性和双曲项，同时保持了线性结构与能量稳定性。
• 由于线性系统结构与无条件稳定性，该格式计算高效，适用于大规模模拟。